圆周率与祖氏子孙

圆周率是在数学及物理学中普遍使用的非常重要的常数，也是人们现实生产生活中经常用到的一个常数。圆周率就是圆的周长与直径的比值，是一个不变常数，与圆的大小无关，这个常数约等于3.141592654，一般用希腊字母π来表示。

历经几千年的研究与探索，人们认识到，π是一个无理数，即它不能表示成任何两个整数之比，也可以说成是无限不循环小数。π同时也是一个超越数，即它不可能是任何一个整系数多项式的根。

π既然是一个无限不循环小数，那么它的小数点后人们能计算的位数与精确性也就成了圆周率研究的一个重要课题。现今，借助计算机的强大计算功能，已经算出小数点后约十万亿位。但在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算，而用十位小数3.1415926535便足以应付一般的计算。即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，大多也只需取值至小数点后百位即可。

π也等于圆形的面积与半径平方之比，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。

和圆周率π有关的几个常用公式见下表：

由此可以看出，没有π，这些计算将无法进行。由此可知，π的发现和不断的精确计算是数学发展史上，也是科学发展史上重要的里程碑。

但是，圆周率的发现和认识也是一个漫长的过程，古今众多科学家为之求索奋斗几千年，一次次做出了惊人的成绩。下面就圆周率的发展作一个粗略的统计：

1706年英国数学家威廉·琼斯（William Jones，1675—1749）最先使用“π”来表示圆周率。1736年，瑞士大数学家欧拉也开始用π表示圆周率，从此，π便成了圆周率的代名词。π是个无理数，是由瑞士科学家约翰·海因里希·兰伯特于1761年证明的。1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand von Lindemann）证明了π是超越数。

在圆周率的发展历史进程中，如何正确地、精确地推求圆周率的数值，是世界数学史上的一个重要课题。中国古代数学家们对这个问题十分重视，研究也很早，也创造了世界级的成果。早在《周髀算经》和《九章算术》中就提出径一周三的古率，定圆周率为三，即圆周长是直径长的三倍。此后，经过历代数学家的相继探索，推算出的圆周率数值日益精确。

在圆周率研究的历史上，中国南北朝时期的著名数学家祖冲之功不可没。

祖冲之

祖冲之（429年—500年），字文远。出生于建康（今南京），祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县），中国南北朝时期杰出的数学家、天文学家、科学家。祖冲之一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面。公元480年左右，他在刘徽开创的“割圆术”探索圆周率的精确方法的基础上，首次将“圆周率”精确计算到小数点后第七位，并且给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，355/113（密率）和22/7（约率），即把圆周率控制在3.1415926和3.1415927之间，这是十分精确的结果，因此被世人称为“祖率”。他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献，也成为当时世界上最先进的成就，堪称数学史上的创举。祖冲之因此入选世界纪录协会世界第一位将圆周率值计算到小数第7位的科学家。而且在之后的近千年里祖冲之计算出的π值都是最准确的，直到15世纪，阿拉伯数学家阿尔·卡西在求得圆周率16位精确小数值，才打破了祖冲之保持近千年的纪录。

特别值得一提的是，祖冲之发现的密率355/113，其分母不大而精确度却很高。华罗庚教授曾专门证明在所有分母不超过113的分数中，和π最接近的就是355/113。后来更是有数学家证明在所有分母不超过16580的分数当中，和π最接近的仍然是355/113。

圆周率的应用十分广泛，与圆、球有关的各种计算都离不开圆周率。尤其是在天文、历法方面，凡牵涉圆的一切问题，都要使用圆周率来推算。祖冲之一生勤奋研究，除圆周率的非凡贡献外，在天文、机械等方面也有突出的贡献。其主要著作有《安边论》《缀术》《述异记》《历议》等。尤其是祖冲之写的《缀术》五卷，被收入著名的《算经十书》中。祖冲之的《缀术》五卷，是一部内容极为精彩的数学书，很受人们重视。唐朝的官办学校的算学科中规定，学员要学《缀术》四年，可见《缀术》的艰深。政府举行数学考试时，多从《缀术》中出题。《缀术》一书，汇集了祖冲之父子的数学研究成果。这本书内容深奥，以至“学官莫能究其深奥，故废而不理”。《缀术》曾经传至朝鲜，但到北宋时这部书就已佚失，直到现在还有待考察。

1964年11月9日，为了纪念祖冲之对中国和世界科学文化作出的伟大贡献，紫金山天文台将1964年发现的，国际永久编号为1888的小行星命名为“祖冲之星”。同时，人们还将月球背面的一座环形山命名为“祖冲之环形山”。

每年的3月14日，是国际圆周率日，也是庆祝圆周率π的特别日子。圆周率不但是一个重要常数，而且还是一个神秘的数字。人们在研究圆周率的进程中，还得出很多与π有关的美丽表达式，进一步体现了圆周率和数学各个分支的紧密关系，如：

①级数和

②欧拉公式：eiπ+1=0（i是虚数单位，e是自然对数的底。）

③连分数

④sinπ=0，cosπ=-1，等。

背诵圆周率，也是一些数学爱好者的智力游戏和极限挑战。

下面先看一个小故事，你就能背诵圆周率到小数点后30位。

从前，有个特别喜爱喝酒的私塾先生。一天，先生给学生们布置了一道题目，他要求学生们在放学之前把圆周率背到小数点后30位，如果背不出来，就不准回家。先生说完，就在黑板上写下了一串长长的数字。然后，先生就出门了。学生们眼睁睁地望着这一长串数字3.1415926535897932384626 43383279，个个愁眉苦脸。但是想到背不出来就不准回家，大部分学生就摇头晃脑地背起来；还有一些顽皮的学生则揣好题单，溜出私塾，跑到后山玩去了。忽然，他们发现，先生正与一个和尚在山顶的凉亭里饮酒作乐，就扮着鬼脸，钻进了林子里。夕阳西下，老师酒足饭饱，就回来考学生了。那些死记硬背的学生结结巴巴、张冠李戴，而那些顽皮的学生却背得清脆圆顺，滚瓜烂熟，先生觉得非常奇怪。原来，有一个学生在林子里看到先生时，灵机一动，就把要背诵的数字编成了打油诗：

山巅一寺一壶酒（3.14159），尔乐苦煞吾（26535），把酒吃（897），酒杀尔（932），杀不死（384），遛尔遛死（6264），扇扇刮（338），扇耳吃酒（3279）。很快学生们就轻松地背出了圆周率小数点后30位。

我国著名桥梁专家茅以升，九十岁高龄还能同台与小学生一起背诵圆周率，而且能记住圆周率小数点后100位。

我国著名数学家华罗庚，总结圆周率的特点，利用谐音编故事的方法，给出了小数点后100位的背诵圆周率的口诀：

3.14159 26535 897 932 384 626（山巅一寺一壶酒，尔乐苦煞吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐尔乐。）433 8327 95028 84197 16939 937（死珊珊，霸占二妻，救吾灵儿吧，不思要救妻，一路救三舅，救三妻。）51058 209 74944592 307（吾一拎我爸，二拎舅，其实就是撕吾舅耳，三拎妻。）816 406 286 208 9986（不要溜！司令溜，儿不溜！儿拎爸，久久不溜！）280 348 253421 1706 798（儿不拎，闪死爸，而吾先是饿矣！要吃冷肉，吃酒吧！）

即，π≈3.14159 26535 897 932 384 626 433 8327 95028 84197 16939 937 51058 209 74944592 307 816 406 286 208 9986 280 348 253421 1706 798

“背诵圆周率”也有世界纪录，最新的背诵圆周率吉尼斯世界纪录，由中国在校大学生吕超于2005年底刷新，创造了背诵圆周率达到小数点后第67890位，在“背诵圆周率”的吉尼斯世界纪录上第一次留下了中国人的名字。此前，纪录为背诵圆周率小数点后第42195位，是日本人友寄英哲于1995年创造的。

2005年底，时年24岁的吕超是西北农林科技大学化学专业在读硕士生。吕超于2004年经过两个多月的准备，能够准确背诵圆周率小数点后9万位以上，遂决定向“背诵圆周率”世界纪录发起挑战。2005年11月20日，吕超无差错背诵圆周率达到小数点后第67890位，打破了“背诵圆周率”吉尼斯世界纪录。

祖冲之不但在数学领域取得了举世瞩目的成绩，在机械学方面，祖冲之还设计制造过水碓磨，铜制机件传动的指南车、千里船、定时器等。此外，他在音律、文学、考据方面也有造诣，他精通音律，擅长下棋，还写有小说《述异记》。

我国著名数学家华罗庚评价祖冲之时说：“祖冲之不仅是一位数学家，同时还通晓天文历法、机械制造、音乐，并且还是一位文学家。祖冲之制定的《大明历》，改革了历法，他将圆周率算到了小数点后七位，是当时世界最精确的圆周率数值，而他创造的‘密率’闻名于世。”

祖冲之的另一项巨大贡献是改革历法。据古书记载，我国最早的农历是十九年七闰，这也是汇集了几十代数学家和天文学家的智慧和心血。但是随着观测精度的不断提高，人们发觉使用了近两千年的历法不够精确。公元462年前后，数学家祖冲之就提出了修改历法的建议，他说：“依旧章法，十九岁有七闰，闰数为多，经二百年辄差一日，节闰即移，则应改法。今改章法三百九十一年有一百四十四闰。”并认为“将来永用，无复变动”。

在祖冲之之前，人们使用的历法是天文学家何承天编制的《元嘉历》。祖冲之经过多年的观测和推算，发现《元嘉历》存在很大的差误。于是祖冲之着手制定新的历法，应用“岁差”原理改进置闰方法，得出一年为365.24281481天，这与现今的准确数据仅差46秒。他又求得月亮绕地球一周所需的时间为29.5305915天，这与现在的准确数据误差不到1秒。

祖冲之具体的观察数据是：

地球绕太阳一周是天，月亮绕地球一周是天。这样，一年应有个月，也就是说391年144闰，使历法的精确度向前迈进了一大步。

从这个算式中我们可以看出，这些数字的取得与计算十分繁难复杂，体现了祖冲之的数学天才、钻研精神与非凡的成就，这也是我国古代传统数学以计算见长的特有风格。在此观测的基础上，祖冲之创制了《大明历》，最早将岁差引进历法，采用了391年加144个闰月的新闰周。岁差的引入是中国历法史上的重大进步，而祖冲之撰写的《大明历》也是当时最科学最进步的历法，对后世的天文研究提供了正确的方法。

祖冲之家族是一个热爱科学的家族。祖冲之的祖父祖昌，曾在朝廷担任过大匠卿，负责主持建筑工程，掌握了不少的科学技术知识。祖冲之的父亲也在朝中做官，使祖冲之有机会接触更多的有学问的人。同时，祖家历代对于天文历法都很有研究，因此祖冲之从小就有接触科学技术的机会。

祖冲之的儿子祖暅，字景烁，受家庭的影响，尤其是父亲祖冲之的影响，他从小就热爱科学，善于钻研，善于动脑，尤其对数学具有特别浓厚的兴趣。祖冲之在462年编制的《大明历》，就是在祖暅三次建议的基础上完成的。特别是《缀术》一书经学者们考证，有些条目就是祖暅所作。

值得一提的是，祖暅提出的祖暅原理，是计算球体体积的最佳方法之一，也是祖暅一生最有代表性的发现，该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利（Bonaventura Cavalier）发现，比祖暅晚一千一百多年。

祖暅原理，即“幂势既同，则积不容异”。也就是说，等底、等高的两个几何体，若其任意高处的水平截面面积恒相等，则这两个几何体体积相等。为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，数学史上就称这一原理为“祖暅原理”。祖暅原理有时也称“等积原理”。

祖暅也是我国古代最伟大的数学家之一。他继承其父亲的研究，用巧妙的方法解决了球体体积的计算，创立了球体体积的正确算法。

如下图，一个半径为R的半球，和一个底面半径、高也为R的圆柱和倒圆锥组合。从图中可以看出，用任意平行于底面的平面去截半球和柱锥组合，截面面积（一个是圆面，一个是圆环面）都相等，由祖暅原理，半球的体积和圆柱组合体的体积相等，进而可知球的体积为。这种巧妙的发现与计算，是计算球体体积中最直观、最简单的构思之一。

在天文方面，祖暅也继承父业，他曾著《天文录》三十卷，《天文录经要诀》一卷，可惜这些书都失传了。祖冲之制定的《大明历》，在梁武帝天监初年，祖暅又重新加以修订，才被正式采用。

祖暅的儿子祖皓，续传家学，后来也成了数学家。祖冲之、祖暅、祖皓是祖孙三代，是我国古代名副其实的数学家家族。