兔子繁殖与斐波那契数列

数学来源于生活，服务于生活，生活中蕴含着无穷的数学魅力。

我们来看生活中一个有趣的例子，兔子繁殖问题。兔子繁殖是有一定规律的，一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对成年兔子每个月能生出一对小兔子来。

假如在年初时，只有一对小兔子，在第一个月结束时，它们成长为成年兔子，并且在第二个月结束时，这对成年兔子将生下一对小兔子，此时共有两对兔子。第三个月结束时，成年兔子又生下一对小兔子，上个月的小兔子成长为成年兔子，这时共有3对兔子。这种成长与繁殖的过程会一直持续下去，这期间如果所有的兔子都不死，每对成年兔子每月都能生下一对小兔子，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？

我们不妨对兔子的繁殖做一下分析：

第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对。两个月后（也就是第三个月），生下一对小兔子，对数共有两对。三个月以后，老兔子又生下一对，小兔子长成为大兔子，还没有繁殖能力，所以一共是三对兔子，四个月后就是五对兔子，依次类推可以列出右图：

由此可以看出：

幼仔对数=前月成兔对数；

成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数；

总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数；

可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。如下表：

总体对数这个数列有十分明显的特点，那就是：

每一项都是前面相邻两项之和，由此可知，一年后共有233对兔子。

这个数列以兔子繁殖为例而引入，故称为“兔子数列”。即：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，…

这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契首次在其《算盘全书》中提出的，故又称斐波那契数列。

列 昂 纳 多·斐 波 那 契（Leonardo，Fibonacci，1170—1250），意大利数学家，是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。斐波那契生于公元1170年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，斐波那契因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学，他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。有感于使用阿拉伯数字比罗马数字更有效，斐波那契前往地中海一带向当时著名的阿拉伯数学家学习。1202年，27岁的他将其所学写进计算之书《算盘全书》。这本书通过在记账、质量计算、利息、汇率和其他的应用，显示了新的数字系统的实用价值，最大的功绩是系统介绍印度记数法，影响并改变了欧洲数学的面貌。这本书大大影响了欧洲人的思想，其中还引进了著名的“斐波那契数列”。

列昂纳多·斐波那契

在实际生活、现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。这个数列之所以著名，是因为它有很多迷人的性质。其中最基本的性质就是，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和（也可以看作是这个数列的定义）。所以，只要知道这个数列的前两项，就可以构建出整个数列。

斐波那契数列指的就是这样一个数列：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368，…

斐波纳契数列可以用如下递归的方法定义：

如果设an为该数列的第n项（n∈N*），那么斐波那契数列可以写成如下形式：

a1=1，a2=1，an=an-1+an-2（n>2，n∈N*）

显然这是一个线性递推数列。其通项公式为：

（这个公式是用无理数表示有理数的一个范例。）

此通项公式有很多种推导方法，读者需具备高中以上的知识才能理解，有兴趣的读者可查阅相关资料做进一步了解。

有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618。如：

1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666，3÷5=0.6，5÷8=0.625，55÷89=0.617977…，144÷233=0.618025…，46368÷75025=0.6180339886…

越到后面，这些比值越接近黄金比。即：

所以上面的极限是黄金分割比。因此，斐波那契数列又称黄金分割数列。

斐波那契数列还有很多迷人的性质，使人们爱不释手。

继续来看斐波那契数列：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，…

如果把数列中的各项依次加起来看看会发生什么：

1=1

1+1=2

1+1+2=4

1+1+2+3=7

1+1+2+3+5=12

1+1+2+3+5+8=20

1+1+2+3+5+8+13=33

……

这些结果可以组成一个新的数列，和原数列加以对照：

原数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，…

和数列：1，2，4，7，12，20，33，54，88，143，232，376，609，…

显然，斐波那契数列的前n项和构成的数，比下下一个数小1。或者说，斐波那契数列的前n项和构成的数列每一项都加上1，又是一个从第二项以后的斐波那契数列。

如果你想知道：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55的结果，你只需找到55的下下一个数144，然后144-1=143，143即为所求。

再比如，要想求下面的和：

1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+144+233+377+610

只需计算377+610+610-1=1596，即为所求。

一般地，对于斐波那契数列{an}，我们有：sn=an+2-1

我们再来看看斐波那契数列的各项的平方有什么联系：

斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…

各项的平方：1，1，4，9，25，64，169，441，1156，3025，7921，…

平方之和：1，2，6，15，40，104，273，714，1870，4895，12816，…

观察可知，斐波那契数列，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。

如：第四项3的平方是9，比它的前一项2和它的后一项5的积10少1，第七项13的平方169比它的前一项8和它的后一项21的积168多1。

如果用{f（n）}表示斐波那契数列，经证明可得：

［f（n）］2=f（n-1）f（n+1）+（-1）n-1

由上面的数列，还可以得出斐波那契数列的前n项平方之和，正好是斐波那契数列中的第n个数和下一个数的乘积。例如

1+1+4+9+25+64+169=13×21=273

1+1+4+9+25+64+169+441+1156+3025=55×89=4895

斐波那契数列和杨辉三角形也有着特殊的联系。

我们来看杨辉三角形：

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

即得斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…

我们再来看看斐波那契数列的整除性与素数生成性：

每3个连续的数中有且只有一个被2整除；

每4个连续的数中有且只有一个被3整除；

每5个连续的数中有且只有一个被5整除；

每6个连续的数中有且只有一个被8整除；

每7个连续的数中有且只有一个被13整除；

每8个连续的数中有且只有一个被21整除；等等。

同时我们也看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：

5，13，89，233，1597，28657（但第19位就不是素数）。

思考：斐波那契数列中的素数有无限多个吗？

下面来看一个与三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个例子：

如现有长为144 cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的长度不小于1 cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少？

分析：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是存在两边之和不超过另一边。截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。

再看一个例子。有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法？

这也是一个斐波那契数列应用的例子：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……而所有的方法数正好构成了斐波那契数列：1，2，3，5，8，13，…所以，登上十级台阶，有89种走法。

斐波那契数列会经常出现在我们的眼前，比如超越数e，黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等都能看到斐波那契数列的身影。

斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知，很多艺术作品中也时常出现。比如在2006年风靡一时的畅销小说《达·芬奇密码》和同名电影里，它就作为一个重要的符号和情节线索出现。被谋杀的博物馆馆长雅克-索尼诶在临死前留下了八个数字的序列，成为破解此命案的重要线索。密码破译者索菲-奈 芙 重 新 排 列 了13，3，2，21，1，1，8，5这 八 个 数 的 顺 序：1，1，2，3，5，8，13，21，从而揭开了它所含的意义。可见此数列就像黄金分割一样流行。

斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案。

最后给大家讲一个小故事。故事发生在2002年第二十四届国际数学家大会在中国召开期间。先简单介绍一下国际数学家大会。

国际数学家大会（International Congress of Mathematicians），是数学家们为了数学交流，展示、研讨数学发展的国际性会议，是国际数学界的盛会。大会每四年举行一次，首届大会1897年在瑞士苏黎世举行，至今已有百余年的历史，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会。每次国际数学家大会上，还为在数学领域作出突出贡献的数学家颁发“菲尔兹奖”（该奖被称为数学领域的诺贝尔奖）。第二十四届国际数学家大会2002年在北京国际会议中心隆重举行（会标就是我国古代数学家赵爽的弦图），是中国在国际数学界和科学界地位的体现，是中国数学和世界数学接轨的重要标志，是中国数学发展的新起点。

会议休息其间，中国数学家和一些国外数学家做了一个小游戏，体现了数学家之间的一次智慧交流。数学家的游戏是，中国数学家说，请你们任意给出两个自然数，然后按照斐波那契数列的构造方法，依次写出后面的8个数，然后求这10个数的和，看谁算得最快。比如给出7，11，也就是要计算下面的和式：

7+11+18+29+47+76+123+199+322+521=？

中国数学家不假思索，就直接给出了答案，1353。

而且经过多次游戏，无论数字如何变化，中国数学家都能很快给出答案。外国数学家对中国数学家的计算速度甚是佩服。

原来其中的奥秘是，在这10个数中，取出第7个数乘以11即为所求的和。

如上面的和式答案即为：123×11=1353。

我们来看一般情况，设已知两个数为a，b，则按照斐波那契数列依次构造的10个数为：

a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，5a+8b，8a+13b，13a+21b，21a+34b

其和为：

a+b+a+b+a+2b+2a+3b+3a+5b+5a+8b+8a+13b+13a+21b+21a+34b

=55a+88b=11（5a+8b）

而5a+8b正好是原数列中的第7项。

这也说明，斐波那契数列中任意连续十项的和是其中第七项的十一倍。

巧妙的计算，神奇的发现。在我们感叹数学家卓越智慧的同时，再一次感受到了斐波那契数列的无穷魅力。