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“百鸡问题”是一道闻名于世界的古老题目，很有价值，也很有趣味。百鸡问题出自中国古代5～6世纪成书的《张邱建算经》，是原书卷下第38题，也是全书的最后一题。该问题是一个三元不定方程组，其重要之处在于开创“一问多答”的先例，这是过去中国古算书中所没有的。

具体问题是：“今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”

用现代话说就是：“用100元钱买100只鸡，其中，公鸡一只5元钱，母鸡一只3元钱，小鸡三只1元钱。问买到的100只鸡中公鸡、母鸡、小鸡各是多少只？”

原书只给出了答案，没有给出具体解法。

书中又说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余几组答案。

下面我们给出一种“逼近式”的推算方法：

因为公鸡一只5元钱，用100元钱买100只鸡，因此公鸡不能超过20只；同理母鸡不能超过33只；当然小鸡也不能超过100只。

我们先取一个中间数，假如公鸡买10只，用钱50元；母鸡买15只，用钱45元；还剩5元钱，只能买15只小鸡，鸡的总数才是40只，远远达不到100只。所以必须增加更多小鸡的数量，才能满足题目的需要。设想小鸡增加到60只，用钱20元，而剩下的40只如果全部买母鸡，也要用钱120元，而公鸡还要贵一点，所以远远超过了所需的100元，所以继续增加小鸡的数量，而小鸡的数量又必须是3的倍数。若小鸡增加到75只，用钱25元；而剩下的25只鸡如果全买母鸡，则用钱75元，刚好100元钱买了100只鸡。

如果按照书中给出的说法，少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。

其意思可作如下表示：

母鸡每减少7只：25→18→11→4；

则公鸡增加4只：0→4→8→12；

小鸡应增加3只：75→78→81→84。

因此就可以推出其他几组答案，所以卖鸡的方案共有以下4种：

公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只；

公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；

公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；

公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只。

《张邱建算经》中给出的答案是：“鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡雏七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡母十一，值钱三十三，鸡雏八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡雏八十四，值钱二十八。”

当然，第一种答案也是符合要求的。如果三种鸡都要有，则只取后三个答案。

“百鸡问题”提出以来，中国很多的古算书都没能给出具体解法，到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠又创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870年）推广了百鸡问题，作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。

百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内也有类似问题，印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎相同。

“百鸡问题”用现代数学观点来看，实际上是一个求三元不定方程整数解的问题。用列方程和解方程的方法可得其具体解法如下：

设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z只，由题意得：

这里有两个方程，但是有三个未知量，这样的方程组称为不定方程组。

不定方程组有多种解，下面给出一种解法。

作②×3－①，整理得：7x+4y=100；

所以，y=（100-7x）/4=25-2x+x/4

令x/4=t，（t为整数）所以x=4t

把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t

又因为x，y，z是非负整数，所以，

解得：0≤t≤3。

所以t=0，1，2，3。

当t=0时，x=0，y=25，z=75；

当t=1时，x=4，y=18，z=78；

当t=2时，x=8，y=11，z=81；

当t=3时，x=12，y=4，z=84。

则一百只鸡的搭配结果分别为：

公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只；

公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；

公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；

公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只。

还有人把“百鸡问题”编写成一首小诗如下：

百钱买来百只鸡，公母小鸡数不齐；

母一钱三公钱五，三雏钱一价格低。

公鸡母鸡各多少？还有几只是小鸡？

在《张丘建算经》以前的古算书上，从来没有出现过这种“一题三答”的题目。从这一点上看，“百鸡问题”是张丘建在数学上的伟大贡献。

公元15世纪，亚细亚的数学家阿尔·喀西所著《算术之钥》中，有一个“百钱买百鸟”的类似题目：

“今有鸭一值四钱，雀五值一钱，鸡一值一钱。凡百钱买百鸟，问鸭、雀、鸡各几何？”

这个问题显然与“百鸡问题”一致，但要比百鸡问题晚近10个世纪。

经推算，鸭、雀、鸡的数目符合题意的答案有如下五组：

由“百鸡问题”我们看到了不定方程，用方程的思想解这一类问题，程序清楚、解答简便，而且能很快得到符合条件的所有解。那么不定方程是如何定义的？它都有哪些条件和解法呢？

不定方程（indeterminate equation）是数论中最古老的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。

古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等都有较为密切的联系。

丢番图（Diophantus，公元246—330），古代希腊人，是古希腊亚历山大学后期的重要学者和数学家，被誉为代数学的鼻祖。丢番图对算术理论有深入的研究，他完全脱离了几何形式，在希腊数学中独树一帜。今天我们称整系数的不定方程为“Diophantus方程”，其内容主要是探讨他们的整数解或有理数解。丢番图有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多问题都是不定方程或不定方程组（两个变数以上）问题。丢番图方程之所以被称为不定方程，是因为此类方程有时无解，有时多解，有时又有无穷多解。

丢番图的出生日期不可靠，但他的墓碑上的墓志铭却是一道很经典的数学题目，流传甚广。

墓志铭上写着：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。上帝给予的童年占六分之一，又过了十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子，可怜迟来的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补，又过了四年，他也走完了人生的旅途。”

我们从中可以知道：“丢番图的一生，幼年占1/6，青少年占1/12，又过了1/7才结婚，5年后生子，子先父4年而卒，寿为其父之半。”那么，丢番图到底活了多少岁呢？

设丢番图活了x岁，计算丢番图年龄的方程为：

x/6+x/12+x/7+5+x/2+4=x，

由此知道丢番图享年84岁。

丢番图开始当爸爸的年龄：84×（1/6+1/12+1/7）+5=38（岁）；

儿子死时丢番图的年龄：84-4=80（岁）；

儿子活了42岁。

丢番图的墓志铭虽然只是一个简单的代数方程问题，但却是对这位代数之父的一种最好的纪念。

不定方程是一类实用且有趣的方程。研究不定方程需要解决三个问题：

（1）判定不定方程是否有解；

（2）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）；

（3）求不定方程的所有整数解。

中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪张丘建的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究，秦九韶的大衍求一术又将不定方程与同余理论联系了起来。

我们先来看二元一次不定方程。

二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。

其中a，b，c是整数，ab≠0。

此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数能整除c。

即，（a，b）│c。

若（a，b）=1，设x0、y0是该方程的一组整数解，那么该方程的所有整数解（通解）可表示为 pagenumber_ebook=127,pagenumber_book=107

其中t是整数。

证明：因为x0、y0是该方程的一组整数解，则

那么，a（x0+bt）+b（y0-at）=ax0+by0=c

所以

是原方程的解。

解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。

若有解，可先求ax+by=c的一个特解，从而写出通解。

当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，系数较大时可引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止。

例如，解二元一次不定方程3x+2y=7，

显然（3，-1）是该方程的一组解，那么，该方程的所有解可表示为：

我们也可用“归一”的方法来求特解。

观察其特解为（1，-1），

然后把特解扩大7倍，即可得原方程的特解是（7，-7），

所以原方程的通解也可表示为：

两个通解形式上不同，但本质上是一致的，在第二个通解中，令t=-2时，既是第一种解法的特解。如果令t=m-2，则第二个通解就与第一个通解完全等价。

可见，一般满足条件的二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式也可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数t作适当代换，就可化为同一形式。

同理，三元一次不定方程的一般形式为：ax+by+cz=d，

a、b、c、d均为整数，且abc≠0。

此方程有整数解的充分必要条件是a，b，c的最大公约数整除d。

以此类推，即可得到多元一次不定方程的一般形式和有解的条件。

关于整数多元一次不定方程，也可以有矩阵解法、程序设计等相关方法辅助求解。

我们再来看二元二次不定方程。

二元二次不定方程本质上可以归结为求二次曲线（即圆锥曲线）的有理点或整点问题。

如二元二次方程：x2+y2=4，就是一个二元二次不定方程，它在解析几何中又是一个圆的方程，它的所有解所对应的点都在以原点为圆心、以2为半径的圆上。

比如整点就有（0，-2），（2，0），（0，2），（-2，0）。

又如二元二次方程：4x2+9y2=25，也是一个不定方程，它在解析几何中是一个椭圆的方程，它的所有解所对应的点都在以原点为中心的椭圆上。

整点有（-2，-1），（-2，1），（2，-1），（2，1）等。

有理点有（0，±5/3），（±5/2，0）等。

勾股定理也是一类特殊的二次不定方程，其表达式是：

其正整数解通常称商高数或勾股数或毕达哥拉斯数。中国《周髀算经》中就有“勾广三，股修四，经隅五”之说，已经知道（3，4，5）是一个解。刘徽在注《九章算术》中又给出了（5，12，13），（8，15，17），（7，24，25），（20，21，29）几组勾股数。它的全部正整数解已在16世纪前得到。

即勾股数方程的全部正整数解（x，y的顺序不加区别）可表示为如下形式：x=k（m2-n2），y=2kmn，z=k（m2+n2），其中k，m，n均为正整数，且m＞n。

另一类特殊的二次不定方程是所谓的佩尔方程：x2－Dy2=1，D是非平方的正整数。利用连分数理论知此方程永远有解。这类方程就是求双曲线上的有理点。

最后一类就是平方剩余问题，即求x2-py=q的整数解，用高斯的同余理论来描述，就是求x2≡q（mod p）的剩余类解。高斯发现的著名二次互反律给出了此方程是否有解的判定方法。这类方程就相当于求抛物线上的整点。

对高于二次的不定方程，情况相当复杂，仅举一例。

例：当n>2时，不定方程xn+yn=zn没有非平凡的整数解。

这即是著名的费马大定理。费马大约在1637年左右提出此定理，但从提出到证明，历经了3个多世纪，终于在1995年由英国数学家安德鲁·怀尔斯给出了完全证明。

m个n元一次不定方程组成的方程组，其中m＜n，叫做线性不定方程组。

解此方程组，可以逐步消去m-1个未知数，从而消去了m-1个不定方程，将方程组转化为一个n-m+1元的一次不定方程，再来求解。

如百鸡问题，就是一个三元不定方程组，因为方程只有两个，可通过消去一个未知数，转化为一个二元一次不定方程来解就比较简单。

下面举一些简单例题来看其基本解法。

例1：求11x+15y=7的整数解。

解法1：将方程变形得11x+11y=7-4y

因为x、y是整数，所以7-4y应是11的倍数。由观察得y=-1，x=2是这个方程的一组整数解，所以方程的特解为x=2，y=-1。

此方程的通解可以表示为：

解法2：先考察11x+15y=1，这就是著名的“归一”思想，通过观察易得

11×（-4）+15×（3）=1，

两边同乘以7得11×（-4×7）+15×（3×7）=7

所以取x=-28，y=21，从而得到一组特解。

此方程的通解可以表示为：

例2：求方程6x+22y=90的非负整数解。

解：因为（6，22）=2，所以方程两边同除以2，得

可以先看方程，3x+11y=1，

由观察知，x=4，y=-1是方程3x+11y=1的一组整数解，从而方程①的一组整数解为

由此，可得方程①的一切整数解为：

因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有180-11t≥0且-45+3t≥0，

可得15≤t≤16.36，由于t是整数，所以只有t=15，t=16两种可能。

当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．

所以原方程的非负整数解是：（15，0），（4，3）。

例3：求方程7x+19y=213的所有正整数解。

分析：这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解。

用最小系数7除方程①的各项，并移项得

因为x，y是整数，故（3-5y）/7=u也是整数，

于是方程可转化为5y+7u=3。②

由观察知y=2，u=-1是方程②的一组解。

将y=2代入①得x=25。

于是方程①有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为

由于要求方程是正整数解，所以

解不等式，得t只能取-1和0。

因此得原方程的正整数解只有（6，9），（25，2）。

例4：我国纸币有1元、5元、10元、20元、50元和100元6种，如果手头只有1元5张、5元15张、20元10张，现要用这3种纸币支付143元货款，有多少种不同的支付方法？

解：显然个位数的3元只能用1元来支付，剩下的140元也只能用5元和20元2种纸币来支付。

设5元需要x张，20元需要y张，恰好支付140元，于是

只需求①的非负整数解即可。

由于4y≤28，所以y≤7，所以，y=0，1，2，3，4，5，6，7。

从而x=28，24，20，16，12，8，4，0。

所以①的非负整数解有8组。因5元的纸币只有15张，所以，共有4种不同的支付方式，它们分别是：

（1元，5元，20元）→

（3张，0张，7张）、（3张，4张，6张）、（3张，8张，5张）、（3张，12张，4张）。

多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程来解。

例5：求方程9x+24y-5z=1000的整数解。

解：设9x+24y=3t，即3x+8y=t，代入原方程，得：3t-5z=1000。

于是原方程可化为

用前面的方法可以求得①的解为 pagenumber_ebook=132,pagenumber_book=112

这就是三元不定方程的通解。

下面我们来看古老的“五家共井”问题。

“五家共井”问题和“百鸡问题”一样，都是一个著名的问题。

“五家共井”问题是古代数学巨著《九章算术》中的一道题目。内容是：“五家共井，甲二绠（汲水用的井绳）不足，如（接上）乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠，皆及。”

意思就是说5家人共用一口井，甲家的绳子用2条不够，还要再用乙家的绳子1条才能打到井水；乙家的绳子用3条不够，还要再用丙家的绳子1条才能打到井水；丙家的绳子用4条不够，还要再用丁家的绳子1条才能打到井水；丁家的绳子用5条不够，还要再用戊家的绳子1条才能打到井水；戊家的绳子用6条不够，还要再用甲家的绳子1条才能打到井水。

最后问：井有多深？每家的绳子各有多长？

分析：同样这也是属于不定方程。

我们设井深为h，各家的绳长分别为a，b，c，d，e，

则可以列出如下方程组：

这个题目列的是六元一次不定方程组，

解方程组得a、b、c、d、e分别等于：

265、191、148、129、76，而井深为721 m。

所以，井深721 m，甲绳长265 m，乙绳长191 m，丙绳长148 m，丁绳长129 m，戊绳长76 m。

马克思解不定方程。马克思作为伟大的无产阶级革命家和导师，又是一位伟大的思想家和哲学家，其《资本论》《共产党宣言》等著作均是世界级经典。马克思为了写好《资本论》，深入钻研数学知识，在数学领域有很多独到的见解，还编写出版了《数学手稿》，是用辩证唯物主义思想研究数学的典范。书中也涉及了不定方程问题，其中有这样一道题目：

“有30个人，其中有男人、女人和小孩，在一家小饭馆里花了50先令，每个男人花3先令，每个女人花2先令，每个小孩花1先令，问男人、女人和小孩各有多少人？”

解：设男人、女人和小孩分别有x、y、z个人，则

其一个特解为（9，2）