无理数与连分数

“万物皆数”，这是古希腊毕达哥拉斯（Pythagqras，约公元前580—前500）学派，在当时提出的一个重要命题。大约在公元前5世纪，当时毕达哥拉斯学派特别重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，追求宇宙的和谐与规律性。他们认为宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比。毕达哥拉斯学派的一项重大贡献就是证明了勾股定理，在西方也被称为“毕达哥拉斯定理”。但是在勾股定理的应用过程中，也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长为1的等腰直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕达哥拉斯学派的根本信条，导致了当时认识上的“恐慌”，从而产生了第一次数学危机。

第一次数学危机对古希腊的数学观点产生了极大的冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份反而升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系，欧几里得的《几何原本》问世，这不能不说就是数学思想上的一次巨大革命！

第一次数学危机的爆发，使无理数逐渐浮出水面。但是，在无理数产生与发展的过程中，一件不愉快的事情发生了。让我们回到2500年前的古希腊，著名的毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。他们认为“数”是万物的本源，提出了“万物皆数”，认为数支配了整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界之所以美好和谐的源泉。他们所说的数实际上是指整数和分数，但分数都可以写成两个整数之比，所以他们相信一切数都可以写成两个整数之比。但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究正方形时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以度量对角线。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，根据勾股定理得x2=12+12=2，由此可知单位正方形的边长与对角线是不可公度的，可它是多少？又该怎样表示它呢？由此可见边长为1的正方形的对角线的长度数肯定是存在的，但又不能用整数比来表示。希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数。这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊，也动摇了他们的哲学思想核心。为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌，他们规定对新数的发现要严守秘密。而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去。然而，至高无上的神权不容侵犯，据说希帕索斯后来被扔进大海喂了鲨鱼。但是，真理是藏不住的，人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数。如圆周率就是最重要的一个，人们把它记成π，也称它为无理数。

无理数的发现，击碎了毕达哥拉斯学派“万物皆数”的美梦。同时也暴露出有理数系的缺陷。一条直线上的有理数尽管是“稠密”的，但是它却露出了许多“孔隙”，而且这种“孔隙”多得“不可胜数”。这样，古希腊人把有理数视为是连续衔接的那种算术连续统的设想，就彻底地破灭了。它的破灭，在以后两千多年的时间内，对数学的发展，起到了深远的影响。

不可通约的本质是什么？长期以来众说纷纭。两个不可通约量的比值也因其得不到正确的解释，而被认为是不可理喻的数。15世纪达·芬奇（Leonardo da Vinci，1452—1519）把它们称为“无理的数”（irrational number）。这些“无理”的数，虽然在后来的运算中渐渐被使用，但是它们究竟是不是实实在在的数，却一直是个困扰人的问题。

中国古代数学在处理开方问题时，也不可避免地碰到无理根数。对于这种“开之不尽”的数，《九章算术》直截了当地“以面命之”予以接受，刘徽注释中的“求其微数”，实际上是用10进制小数来无限逼近无理数。这本是一条完成实数系统的正确道路，只是刘徽的思想远远超越了他的时代，而未能引起后人的重视。不过，中国传统数学关注的是数量的计算，对数的本质并没有太大的兴趣。而善于究根问底的希腊人就无法迈过这道坎了，既然不能克服它，那就只好回避它。此后的希腊数学家，如欧多克斯（Eudoxus）、欧几里得（Euclid）在他们的几何学里，都严格避免把数与几何量等同起来，使几何学在逻辑上绕过了不可公度的障碍，使得在这以后的漫长时期中，形成了几何与算术的显著分离。

17、18世纪微积分的发展几乎吸引了所有数学家的注意力，恰恰是人们对微积分基础的关注，使得实数域的连续性问题再次突显出来。因为，微积分是建立在极限运算基础上的变量数学，而极限运算，需要一个封闭的数域。无理数正是实数域连续性的关键。

无理数是什么？法国数学家柯西（A.Cauchy，1789—1875）给出了回答：无理数是有理数序列的极限。然而这个定义是有缺陷的。这表明，柯西尽管是那个时代的大分析学家，但仍未能摆脱两千多年来以几何直觉为立论基础的传统观念的影响。

变量数学独立建造完备数域的历史任务，终于在19世纪后半叶，由维尔斯特拉斯（Weierstrass，1815—1897）、戴德金（R.Dedekind，1831—1916）、康托（G.Cantor，1845—1918）等人加以完成了。

从无理数的发现至两千多年后，时间到了1872年，这是近代数学史上最值得纪念的一年。这一年，克莱因（F.Kline，1849—1925）提出了著名的“埃尔朗根纲领”，维尔斯特拉斯给出了处处连续但处处不可微函数的著名例子。也正是在这一年，实数的三大派理论：戴德金“分割”理论，康托的“基本序列”理论，以及维尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现了，实数理论的建立可以说是水到渠成了。努力建立实数的目的，是为了给出一个形式化的逻辑定义，它既不依赖几何的含义，又避免用极限来定义无理数的逻辑错误。这里，戴德金的工作受到了崇高的评价，这是因为，由“戴德金分割”定义的实数，是完全不依赖于空间与时间直观的人类智慧的创造物。

实数的三大派理论本质上是对无理数给出的严格定义，从而建立了完备的实数域。实数域的构造成功，使得两千多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了，古希腊人的算术连续统的设想，也终于在严格的科学意义下得以实现。

从公元前5世纪希帕索斯等人发现了无理数的存在，在历经了漫长的两千多年后，直到19世纪70年代严格的实数理论才被建立起来，人类为此付出了极大的心血。

引进无理数，形成实数系，这是数的概念的第四次扩充。

我们说，实数是稠密且连续的。我们可以用一维的数轴来表示实数，这样数轴上的每一个点都与一个实数相对应；反之，每一个实数都对应数轴上的一个点；由此，全体实数与数轴上的点之间就建立了一一对应关系。

实数可以分为有理数和无理数两类。有理数就是可以表示成两个整数之比的数，它由整数、分数（有限小数和无限循环小数）构成；无理数就是永远都不能表示成两个整数之比的数，也就是说无理数是无限不循环小数。

实数还可以分为代数数和超越数两类。代数数就是满足一元整系数代数方程的数，也就是一元整系数代数方程的根叫做“代数数”。如x2-2=0，x=虽是一个无理数，但它是一个代数数。所谓超越数，就是永远不能满足一元整系数代数方程的数，叫超越数，超越数一定是无理数。但无理数不一定是超越数。如圆周率π和自然对数的底e都是超越数，它们不可能是某一个一元整系数代数方程的根。

实数还可以分为正实数、负实数和零三类。

实数系的完全建立，可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方，其结果也还是实数。

实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：a＜b，a=b，a＞b。

实数大小具有传递性，即若a＞b，b＞c，则有a＞c。

实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数。

下面我们来举一个例子。

例：证明是无理数。

证明：假设是有理数，必有（p、q为互质的正整数）

两边平方，p2=2q2

显然p为偶数，设p=2k（k为正整数）代入上式，

有：4k2=2q2，q2=2k2，显然q也为偶数，这与p、q互质矛盾。

∴假设不成立，故是无理数。

这里采用的是反证法。

我们说，无理数或超越数虽然不能用两个整数之比（分数）来表示，但是从极限的角度却可以用无限连分数来表示。我们来看下面的问题。

连分数（continued fraction）是特殊的繁分数。一般一个有限连分数表示一个有理数，一个无限连分数表示一个无理数。如果a0，a1，a2，…，an，…都是整数，可将下述形式的连分数分别叫做无限连分数和有限连分数。

无限连分数的一般表达式为：

有限连分数的一般表达式为：

从近代数学的计算需要，还可将连分数中的a0，a1，a2，…，an换成以x为变元的多项式。在近代计算数学中，连分数常与某些递推关系构造的函数应用相联系。

下面我们来看一些用连分数表示的实数。

（1）有理数一定可以用有限连分数来表示，如415/93，表示如下：

（2）无理数的无限连分数表示。

如：的连分数表示：

设：x2=2，则x2-1=1，（x-1）（x+1）=1，

故：

同理，

欧拉还同时证明，无限连分数表示的一定是无理数。

对于黄金分割数，我们也可以用连分数表示，

设x为黄金分割数，我们有：

x=，反复利用此式可得：

另外，黄金数还可以表示为，反复利用此式可得：

黄金分割数是无理数，但不是超越数。

（3）超越数的无限连分数表示。

对于超越数π，英国数学家布伦科尔给出的无限连分数表示是：

π也可以用一个无穷数列来表示，德国数学家莱布尼茨给出的表达式是：

关于π，瑞士大数学家欧拉找到了一个收敛更快的漂亮公式：

还有

法国数学家韦达还利用半角公式给出了π的无穷乘积表达式：

英国著名数学家、物理学家牛顿利用反正弦级数也给出了π的无穷级数表达式：

由此我们可以看出，对于超越数π，它虽然不能直接用分数来表示，但是经过数学家们的探究与推理，却可以用无限连分数、无限分数之和（之积）等来表示，这也是人们对无理数“有理化表示”的美好追求。

我们知道，e既是一个无理数，又是一个超越数，它的定义是：

欧拉首先发现了e的连分数表示：

e还有一个著名的展开式：

这些关系式的发现以及无数的数学理论，都是众多科学家、数学家和数学爱好者智慧的结晶，也是人类爱好科学、探索科学的科学精神的崇高体现。我们今天能够轻松地了解和掌握这些知识，那都是无数科学家、数学家经过上百年，甚至上千年辛苦探究的结果，他们不但为数学发展作出了贡献，他们也是人类文明进步的灯塔。