对图7.1 所示的接触系统，在问题域Ω＝ΩA＋ΩB上除满足式（3.27）至式（3.31）的弹性力学方程外，还需要满足满足式（7.7）和式（7.10）。

设虚位移为δuT，在上满足δuT=0。则将在式（3.27）两侧同时乘以δuT并在整个区域内积分有

利用分部积分并利用在上满足δuT=0，式（7.11）成为

上式左侧第二项可进一步简化为

将式（7.13）代入式（7.12）得

将式（3.30）、式（3.31）、式（7.7）代入式（7.14）可得

式（7.15）为接触问题的虚功原理，是有限元法和无网格法等方法分析接触问题的基础。由于无网格法往往不具有克罗内克δ 函数性质，不能直接施加位移边界，必须对式（7.15）进行修改。如果采用拉格朗日乘子法施加位移边界条件，则式（7.15）更改为

其中λ 为拉格朗日乘子向量。至此，还剩下式（7.10）。所以，接触问题的完整变分可理解为在式（7.10）的约束下求解式（7.16）。