7.2.1　接触面方程

简单起见，考虑二维小变形情况下的面－面接触。如图7.1所示，设ΩA，ΩB为两个物体组成的接触体系。为ΩA上对应的位移边界和应力边界，为ΩB上对应的位移边界和应力边界。潜在接触边界Γc由两个接触面组成。xA，xB为接触面Γc上对应的接触点对，它们相应的位移定义为（）和（）。接触面上的法向和切向接触应力分别定义为pu，pτ。则接触位移用相对位移描述

图7.1　接触问题的域和边界

通常，接触力和接触位移应当满足如下两个定律：

（1）法向接触定律

上面三式的意义依次为非穿透条件、法向不受拉条件和互补条件。

（2）切向Coulomb 摩擦定律

上式中μ 为摩擦系数，c 为黏聚力。

参照理想刚塑性体单向应力应变关系的表述，式（7.3）、（7.4）可统一表述为

式中uc=［un，uτ］T，pc=［pn，pτ］T。为接触滑动势函数；描述切向和法向相对滑动位移的方向。＝［λ1，λ2，λ3］T代表接触点切向和法向滑动量的大小。为接触滑动函数。然后引入惩罚函数，则式（7.5）、（7.6）转化为以下形式

式中］，Eτ、En分别为切向和法向惩罚因子，其取值由具体问题决定。本文中Eτ=En≥E，E 为弹性模量。。式（7.7）到式（7.9）称为惩罚-线性互补型接触条件。

为了计算方便，引入松弛变量v=［v1，v2，v3］T，则互补关系为