由于水平集和无网格法都是建立在离散节点上，二者很容易实现耦合。考虑线弹性断裂力学的韦斯特加德解［107］及无网格Garlerkin 法（EFGM）［114］形函数的单位分解特性，水平集和无网格耦合方法的不连续位移场函数可表示为

式中N 为整个求解区域离散的节点集合；M、K 分别为阶跃扩展节点集合和裂尖扩展节点集合，这两个集合可由节点上的水平集函数值确定，即

其中rd为节点影响域半径。H［f（x，t）］为海维赛德跳跃函数，用来表征裂纹所导致的不连续位移场，其定义为

uI、αI、βIl为与位移有关的自由度。图6.5 给出了水平集函数f、g和海维赛德跳跃函数的几何定义。可以看出，式（6.12）的后两项所包含的附加变量只发生在裂纹及其尖端一个狭小的区域内。NI为MLS 近似函数；Tl，l=1～4 为式（5.18）所示的韦斯特加德解。

式（6.13）中的水平集函数由MLS 法近似得到，

由于水平集g 与裂尖位置有关且总有‖△g‖≡1，因此其0水平集与f 的0 水平集在裂尖处相互正交。因此，f 和g 自然地在裂尖处构成了局部正交坐标系（见图6.5）。则r、θ 在该局部坐标下可定义为

图6.5　f、g、H以及裂纹尖端局部坐标系（r，θ）的定义