5.5.3　数值算例

以下算例中均采用长为L=100 mm，高为H=200 mm 的矩形裂纹平板模型。模型的材料参数为：弹性模量E=20 Gpa，泊松比v=0.3，按平面应力条件计算。平板的上、下边界均受σ=1 Mpa的拉力作用。分别采用扩展无网格法和修正的内部扩充法对各算例进行计算分析。计算过程中，在方板上共离散20×40 个节点，19×39 个背景积分网格，每个网格中采用6×6 高斯积分。本文方法（扩展无网格法）和修正的内部扩展法的影响域半径分别选取为1.7 倍和2.5 倍节点间距。各算例中的正则化应力强度因子FI、FII按式（5.98）计算。

其中a 为裂纹长度，KI、KII分别为I 型、II 型应力强度因子，由相互作用积分法（M 积分法）计算。

5.5.3.1　平行双边裂纹

为了验证本文方法的可行性和精度，首先计算图5.25 所示的双边裂纹。表5.3 给出了两个裂纹按同样长度增长时，本文方法、修正的内部基扩充法以及解析解［115］计算得到的左侧裂纹尖端正则化应力强度因子值。由于两种数值方法得到的FII几乎均为零，因此表5.3 中未列出。从表5.3 可以看出，右侧裂纹的出现对左侧裂纹具有明显的屏蔽作用；扩展无网格法比修正的内部扩充法具有更高的精度。另外，由于本文方法的影响域半径远远小于修正的内部基扩充法，大大减少了刚度矩阵的建立时间，因此计算效率更高。

5.5.3.2　单边双裂纹

图5.26 为处于同一边界的两条裂纹，其中中间裂纹固定于水平位置，上部裂纹的位置随倾角θ 变化，两个裂纹具有相同的长度a=50 mm。图5.27 给出了中间裂纹尖端的正则化应力强度因子FI、FII随上部裂纹倾角θ 的变化情况。图5.27 也给出了修正的内部扩充法的计算结果，可以看出两种方法的计算结果吻合得很好，FI随θ 的增大而增大，最终趋向于1；FII随θ 的增大而减小并最终趋向于0。说明θ 越大两个裂纹尖端距离越远，它们之间的相互影响越小；当θ 很小时，两个裂纹的中间部分出现了相对较低的应力区域，从而导致FI较小。

图5.25　双边平行裂纹

图5.26　单边双裂纹

图5.27　裂纹倾角变化对中部裂纹正则化应力强度因子的影响

表5.3　不同裂纹长度对正则化应力强度因子的影响

5.5.3.3　三条裂纹

图5.28　三条边裂纹

图5.28 为等长的三条裂纹，其中左侧裂纹固定于水平位置，右侧两个裂纹的位置由偏移距离h 和倾角θ 确定。首先考虑h=40 mm，θ=0，三条裂纹按照相同长度增长时，左侧裂纹正则化SIFs 的变化情况。图5.29 给出本文方法和修正的内部扩展法的计算结果，可以看出，本文方法和修正的内部扩展法的计算结果十分接近。可以看出，随着裂纹长度的增大，FI首先逐步减小，当a=35 mm 时达到最小值（0.6222）；然后开始增大；FII 非常小并几乎为0。然后考虑a=50 mm，h=100 mm，θ 逐渐增大时，左侧裂纹尖端应力强度因子的变化情况。图5.29 给出了两种数值方法的计算结果。可以看出，FI随θ 的变化情况比较复杂。开始时，FI随θ 的增大逐步减小，当θ 等于20°时达到最小值（0.8157）；之后开始增加，当θ 等于70°时达到最大值（1.0286）；最后趋于常数（1.0000）。

图5.29　裂纹长度对左侧裂纹正则化应力强度因子的影响

图5.30　裂纹倾角变化对左侧裂纹正则化应力强度因子的影响