5.4.2　多裂纹问题的XFEM

5.4.2.1　多裂纹问题的XFEM 近似

根据单位分解思想，通过嵌入附加变量扩展（或增强）试函数和检验函数，从而保证近似函数在整个求解区域是连续的，而在裂纹面两侧是不连续的。其近似函数及其变分形式为

其中：ω（x）为整个计算区域，ωb（x）为节点影响域被裂纹完全切割的区域，ωs（x）为节点影响域部分被裂纹切割的区域（见图5.24）。公式（5.79）和（5.80）中对应的第一项为标准的无网格形函数；第二项为阶跃扩展项，其中δαI、δβkj和αI、βkj为考虑裂纹而在变分公式中引入的附加变量；H［f（x）］为由符号距离函数定义的阶跃函数，具体形式为

式中

其中xΓ为裂纹线上任意点的坐标，xtip为裂纹尖端坐标，n为裂纹面法向；公式（5.79）、（5.80）相应的第三项称为裂纹尖端扩展项，具体定义可参见式（5.28），其中r、θ 为以裂纹尖端为坐标原点的极坐标系（见图5.24）。

当裂纹不分叉或与其他裂纹不相交时，式（5.79）、（5.80）可以推广到多裂纹的情况［119］，相应的近似函数及其变分为

其中nc为裂纹数目，mt为裂纹尖端数目。

图5.24　裂纹全部或部分切割的节点支持域

5.4.2.2　扩展无网格离散形式

由于无网格近似函数不具有Kronecker δ 函数性质，使用拉格朗日乘子法施加本质边界条件。相应地，二维弹性力学的弱变分形式可修改为

式中：Ω 为问题域，Γ=Γu∪Γt为域边界，L 为偏微分算子，D 为材料的弹性矩阵，b 是体力向量，表示应力边界Γt上给定的面力，表示位移（本质）边界Γu上给定的位移。

分别为边界Γu的拉格朗日乘子检验函数及其试探函数。是拉格朗日插值函数，λ*为待求的拉格朗日乘子向量。

将式（5.83）、（5.84）和（5.86）代入方程（5.85），得到离散化的系统方程

式中

式中矩阵元素的上标表示对应的结点自由度。