5.3.5　数值算例

为了验证本书X-RPIM 的精度和稳定性，对三个典型问题开展了数值实验。采用MATLAB 软件编写了相应程序，具体程序内容见5.7 节。在以下数值算例中，均采用MQ 径向基函数，具体参数为q=1.03；采用四边形背景积分网格，每个网格中为6×6 高斯积分。同时，X-RPIM 的计算结果［111］也与扩展有限元法（X-FEM）、内部基扩展径向点插值法（E-RPIM）［112］、扩展无网格伽辽金法（X-EFGM）［113］的计算结果进行比较。

5.3.5.1　单边裂纹板受拉伸作用

如图5.15（a）所示，有限板尺度L=W，裂纹长度为a，上下端受均布拉力作用σ0=1 MPa，阴影区域为M 积分计算应力强度因子（SIFs）的矩形区域，取弹性模量为E=100 MPa，泊松比为v=0.25，按平面应变问题计算。该问题的SIFs 理论解［114］为

图5.15　单边裂纹平板分别受拉力（a）和节点分布（b）

在平板上离散11×21 个节点，10×20 个背景网格。首先讨论a/W=0.45 时，不同矩形边长c 对SIF 计算结果的影响。节点离散见图5.15（b），其中包括9 个阶跃扩展点［图5.15（b）中三角形标注的节点］和12 个裂尖扩展点［图5.15（b）中圆形标注的节点］，则附加节点总数为9+12×4=57。

图5.16 给出了X-RPIM 在不同边长c 下求解的值，也即正则化应力强度因子F 的数值解。当c 的取值逐步增大F 值逐步趋向理论解。当c≥0.15，也即c≥a/3 时，计算结果趋于稳定。其次比较了a/W 分别取0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6 时，X-EFGM、E-RPIM 与本文方法（X-RPIM）在节点分布为11×21和21×41 时计算得到的F 值。X-EFGM 取与本文相同的节点分布。X-FEM 要求裂纹尖端必须落在单元内，因此分别采用12×22 和22×42 个四边形四节点单元。没有被裂纹线穿透的单元采用4×4 高斯积分，被穿透单元则采用6×6 高斯积分。图5.17、图5.18 分别为11×21 和21×42 个节点分布下四种方法的计算结果。可以看到，本文方法与X-EFGM 计算精度基本一致并与解析解吻合得非常好，X-FEM 的精度则较低。E-RPIM 在分析较短裂纹（a/W≤0.3）时，其计算精度较低。

图5.16　不同积分区域对正则化SIF的影响

图5.17　11×21节点分布下不同方法计算的正则化SIF

图5.18　21×41个节点分布下不同方法计算的正则化SIF

5.3.5.2　单边裂纹板受剪切作用

图5.19　单边裂纹平板受剪切作用

如图5.19 所示，有限板高L=160 cm，宽为W=70 cm，裂纹长度为a。其底部固定，顶部受剪应力τ0=10 Pa 的作用。板弹性模量E=300 MPa，泊松比v=0.25，假定为平面应变问题。该问题是I、II 复合型裂纹问题，比较复杂。Fleming等［11］和Ching等［115］给出当a=35 cm 时的应力强度因子参考解为KI=1078.2 Pa·cm1/2，KII=143.88 Pa·cm1/2。为了得到不同比值a/w 下的应力强度因子值，文献［116］采用十分精细的有限元网格进行数值计算，计算结果见表5.1、表5.2。本文中，我们分别采用X-FEM、X-EFGM、E-RPIM 和X-RPIM 在两种节点分布下对不同比值a/w 的应力强度因子进行了计算，并与有限元结果进行比较。计算结果见表5.1、表5.2。可以看出，四种数值方法与有限元法的计算结果吻合得非常好，而本文提出的X-RPIM 的精度最高。

表5.1　单边受剪裂纹板应力强度因子（21×41）

表5.2　单边受剪裂纹板应力强度因子（29×65）

5.3.5.3　三点弯曲梁

如图5.20 所示的三点弯曲梁，梁长L=4 m，高为W=1 m，厚度为D=0.2 m。模型参数为：P=200×103N，弹性模量E=104 MPa，泊松比v=0.25，按平面应力计算。在梁上分别按节点间距为0.125 m 和0.10 m 离散两组节点，并依次计算当a/W=0.15、0.25、0.35、0.45、0.55、0.65 和0.75 时的应力强度因子。三点弯梁的应力强度因子的理论解［114］为

当L=4W 时，

图5.20　三点弯曲梁试件

图5.21 为节点间距分别为0.125 m 和0.10 m 时X-RPIM计算得到的应力强度因子和精确解之间的关系。可以看出，X-RPIM 的计算结果与精确解吻合得非常好。

图5.21　三点弯曲梁的应力强度因子