5.3.4　相互作用积分（M积分）

应力强度因子（SIFs）能够描述弹性裂纹尖端应力场的强弱，可以消除裂纹尖端应力奇异性所带来的数学上的困扰，是断裂力学中十分重要的参数。通常采用J 积分计算，对于均匀材料

而言，J 积分与路径无关。J 积分定义为

其中W 为应变能密度，定义为

nj是围线Γs的外法线方向（见图5.12）。将式（5.48）所示的线积分转化为等效域积分（EDI）

其中Γ=Γ0+Γ+-Γs+Γ-，mj为相应围线的单位外法线向量（如mj=nj在Γ0上，mj=-nj在Γs上）。q 为足够光滑的权函数，要求在内边界Γs上为1，在外边界Γ0上为0。

对式（5.50）取极限Γs→0，有

因为在Γ0上q＝0，并且假定裂纹面上不受力。则式（5.51）化简为

图5.12　J积分的积分路径

利用散度定理，则式（5.52）可写为

应变能密度的导数为

将式（5.54）代入式（5.53），可得

注意到上式中画横线部分满足

因此下划线项的积分为0。

对式（5.55）经过积分后可得线弹性情况下复合型裂纹的J积分

纯Ⅰ型或纯Ⅱ型裂纹可由J 积分直接求得相应的应力强度因子；而对混合型裂纹由式（5.57）只能得到KI和KII2的组合值。为了能将二者分离出来，考虑由数值模拟得到的真实场（u，ε，σ）和由解析解得到的辅助场（uaux，εaux，σaux）。

辅助场函数的偏导为

其中

由真实场和辅助场叠加后的状态Js为

其中M 积分又称为相互作用积分，形式为

根据贝蒂定理有

I、II 复合型应力强度因子与J 积分之间的关系可写为

其中

对于真实场（u，ε，σ）和辅助场（uaux，εaux，σaux），则有

若取，则

若取KIaux=0，KIIaux=1，则

由式（5.72）和式（5.73）可知，应力强度因子的计算精度与积分区域A 及函数q 有很大关系。本文中q 选取为

其中c 为以裂纹尖端为中心的矩形积分区域边长（图5.13中虚线包围的区域）。图5.14 给出了矩形积分区域上q 函数图。

图5.13　矩形积分区域

图5.14　q函数