从RPIM 形函数的特点可知，其满足式（5.32）的单位分解条件，可以针对裂纹问题按照式（5.34）对其进行扩展。X-RPIM［111］的近似函数可表示为

式中NI（x）、NJ（x）、NK（x）均为RPIM 形函数。Tj，j=1～4 是式（5.28）中的四个函数。H（x）为表征裂纹两侧不连续性的阶跃函数。为符号距离函数，用于描述裂纹面的位置。当f（x）＞0 时，H［f（x）］＝1；当f（x）＜0 时，H［f（x）］＝-1。也就是说，如果计算点x 位于裂纹ΓCr的上方，则f（x）为正，否则为负，裂纹面由f（x）=0 隐式确定。NBisc为其影响域被裂纹线切割但不包含裂尖的节点集合（图5.11 中四边形标注的节点），αJ为与阶跃函数H（x）有关的加强自由度。NTip为其影响域内包含裂尖的节点集合（图5.11 中三角形标注的节点），βKi为与裂尖渐进函数有关的附加自由度。式（5.37）的第一项描述结构的连续位移，第二项描述由裂纹所引起的不连续位移，第三项描述裂尖处的奇异应力场。

图5.11　扩展节点集合

式（5.37）中形函数导数为

其中

式中β 为裂纹倾角。

从式（5.37）可知，X-RPIM 类似X-EFGM。X-RPIM 在RPIM近似函数中则嵌入阶跃函数和裂尖奇异函数，属于外部扩展。该方法是建立在局部单位分解基础上的，解空间由裂纹尖端解的先验知识来实现扩展，很容易捕捉裂尖奇异应力场。因为只有那些影响域被不连续线切割的结点才会被扩展，扩展区域较小，因此不会增加太多的附加自由度，与内部基扩展的RPIM相比，计算效率更高。