单位分解法（PUM）［32］是一种比较广义的无网格方法，它的基本思想是先分片建立尽可能精确的局部逼近函数，再将各片“黏合”起来，从而形成全局逼近函数。其定义为：假设开集Ω∈Rl（l＝1，2 或3）有开覆盖Ωi｛ ｝，且在Ωi上有

则φi（x｛　　｝）构成覆盖Ωi｛ ｝上的单位分解。在覆盖Ωi上定义一个局部逼近空间Vi，在PUM 中，整体的逼近函数为

构造单位分解　的函数很多，MLS 的形函数、有限元形函数、谢巴德函数等都是单位分解函数。Duarte 和Oden 从k 阶移动最小二乘出发，得到了适合求解局部化问题的试函数，其形式为［33］

式中：qi（x）是高于k 阶的扩展函数，如裂纹尖端相关的奇异函数。通常N2≪N1，扩展项的作用限制在较小的计算区域内，并没有增加太多的计算量。

1997年，Babuska 和Melenk［32］证明了PUM 的收敛性。2000年，Duarte 等人［34］将PUM 函数取为有限元形函数，提出了广义有限元［GFEM，又称单位分解有限元（PUFEM）］，目前研究较多的扩展有限元［108-110］是该方法的一种特例。至此，PUM 已不再仅仅是一种单纯的无网格方法，而成为有限元、无网格等数值方法根据特定期望构造协调试探空间的理论框架；其构造的近似函数具有局部插值和空间协调的特性；容许在试探空间中增加由用户定义的有关偏微分方程的先验知识，对传统数值方法无法求解或求解难度代价较大的问题具有独特的优势。

下面以扩展有限元法为例说明单位分解法的应用。传统有限元法的位移模式可表示为

其中，Ni为节点i 上的形函数，满足。借助单位分解概念，XFEM 对式（3.33）进行改进，具体形式为

式中：K 为所有单元节点集合；KΓ为完全被裂纹切割的单元节点集合（图5.10 中方块表示的节点）；KΛ为裂纹尖端单元节点集合（图5.10 中圆圈所表示的节点）。H（x）为式（5.26）所示的海维赛德阶跃函数，Tl（x）为式（5.28）所示的裂纹尖端扩展函数。

图5.10　任意裂纹的网格图

XFEM 是模拟断裂问题非常有效的数值方法之一，它不但继承了传统有限元方法的所有优点，而且其网格剖分独立于结构内存在的几何和物理界面，克服了传统有限元在裂纹尖端等高应力区进行精密网格剖分所带来的困难。从式（5.36）可以看出，XFEM 根据线弹性断裂力学的理论公式，改进影响区内单元的形函数，从而反映出裂纹的存在和生长。由于改进的形函数在单元内保持单位分解的性质，XFEM 的刚度矩阵保持对称、带状和稀疏的优点。因此，单位分解的概念保证了XFEM 的收敛。XFEM 已被广泛应用于求解孔洞和夹杂、断裂力学等许多不连续问题中。但是，由于XFEM 中的单元大多是线性单元（如单节点三角形单元和四节点四边形单元），计算精度偏低。另外，XFEM 依然难以解决网格扭曲或畸变时网格重构问题。