5.2.4　外部单位分解扩展

借助单位分解概念，外部单位分解扩展法通过改进MLS 近似函数，能够同时考虑裂纹面的位移不连续性和裂纹尖端奇异性的存在，其近似函数为

式中Ω 为整个求解区域；ΩΓ为包含节点x 并被裂纹线切割的区域［见图5.8（a）］；ΩΛ为包含节点x 和裂尖xtip点的区域［见图5.8（b）］。当节点同时属于区域ΩΓ和ΩΛ时，规定其属于区域ΩΛ；αI为节点与海维赛德函数有关的加强自由度；βIj为节点与渐进裂纹函数T（x）有关的加强自由度。NI（x）为MLS 形函数，H（x）为海维赛德函数，用来表征裂纹所导致的不连续位移场，其广义定义为

为了能够准确描述裂纹两边，引入水平集函数f（x）作为H（x）的变量。f（x）的定义为

式中：xΓ为计算点x 在裂纹线上的投影点。当计算点在裂纹上方时，f（x）为正值；当计算点在裂纹下方时，f（x）为负值（见图5.8）。

图5.8　扩展区域和海维赛德函数的定义

Tj为反映裂纹尖端场局部特性的扩展函数，定义为

图5.9 为二维情况下裂纹尖端扩展函数图，可以看出沿裂纹面两侧的位移是不连续的。

若采用伽辽金弱形式离散控制方程，则最终的离散系统方程的形式与式（3.51）或（3.54）相同，不同之处在于B 矩阵的形式。

其中Bstd由标准的MLS 近似得到；Benr由扩展部分形成；当xI∈ΩΓ，则ΨI（x）是海维赛德函数；当xI∈ΩΛ，则ΨI（x）是扩展基函数Ta（x）。

图5.9　裂尖附近的扩展函数T（x）