对于自由振动，不需要考虑阻尼和外力项，式（4.24）和式（4.31）简化为以下方程

式（4.34）的广义解为

其中i 为复数单位，t，ω 和分别表示时间、固有频率和本征向量。将式（4.35）代入式（4.34），固有频率ω 可通过求解本征方程

得到。

对于受迫分析，位移场的近似是关于时间和空间变量的函数。许多方法如Newmark 法、Crack-Nicholson 法等都被用于求解方程（4.24）和方程（4.31），本文采用Newmark 法。Newmark 法是一种隐式积分方法，可以看作是线性加速方法的推广。设当前时刻t=t0的状态（u0，u˙0，ü0）是已知，新时刻t=t0+△t 的状态（u1，u˙1，ü1）需要以下的公式得到：

其中△t 为时步，α 和β 为参数。当β≥0.5and α≥0.25（β+0.5）2时Newmark 法是无条件稳定的。本书中，取α=0.25，β=0.5。