4.1　改进的MLS近似

MLS 近似往往具有光滑、紧支撑、单位分解和再生等局部特性，但在实际应用中它也存在一些不足。如果计算点支持域内的节点不够多，则MLS 中的A（x）矩阵有时是病态。为了避免这种情况出现，通常会选择较大的支持域。然而支持域越大，所花费的计算时间就会越多，这大大影响了MLS 的计算效率。为了提高MLS 的计算效率，需要对其进行改进。

首先考虑对MLS 中的权函数进行函数变换，具体形式为

满足

然后利用变换后的权函数v（x，xI）重构基函数，

其中可以是计算点x 或场节点xI。通常p1=（x，）≡1。由式（4.2）和 式（4.3），我们很容易得到一个重要的结论

对于给定的函数u（），可以采用相同的方式进行重构。重构后的新函数（x，）为

利用新的基函数｝可以定义函数u~（x，x）的一个局部近似（hx，）

其中i（x）为待求系数。显然，此时只有m-1 个系数i（x）需要确定。定义下面的加权离散L2范数，

令

可以得到下列关系

其中

其中

其中I 为n×n 的单位矩阵。

求解式（4.9），可得

将式（4.16）代入式（4.6），可得

令=x，由式（4.17）和式（4.5），可以得到IMLS 的近似函数

其中Φ（x）为形函数矩阵，

其中