3.4.5　数值算例

为了研究本书方法的精度，L2范数下的位移误差和能量误差分别定义为

式（3.78）、（3.79）中，ue，un分别代表位移精确解和数值解；εe，εn分别代表应变精确解和数值解。为了书写的方便，使用父网格（1个网格）、4 个子网格以及嵌套网格（1 个网格和它的4 个子网格）的3 种光滑Galerkin 无网格法分别简记为FSMM、SSMM 和NSMM。EFGM 采用拉格朗日乘子法施加位移边界条件。笔者根据Duan 等［102］的研究结论，在EFGM 的每个三角形背景积分网格中采用16 个高斯积分点。上述4 种方法，在悬臂梁、无限大开孔平板和双连拱隧道算例中均使用线性基函数。4 种方法都在同一台个人电脑（处理器：Intel（R）Core（TM）i7-8550U CPU @1.80GHz）上采用MATLAB 语言编程实现。

3.4.5.1　悬臂梁

如图3.10 所示，悬臂梁左侧固定，右侧受剪切作用。在平面应力条件下，解析解［103］为：

图3.10　悬臂梁

其中。梁的材料参数取为E=3×107MPa，v=0.3，P=1000N。在梁上分别布置17×5，33×9 和65×17 个节点。图3.11 比较了3种节点分布下5 种方法求解悬臂梁问题时的位移误差。可以看出，FSMM 与传统三角形FEM 的精度几乎一致；SSMM 的精度要高于FSMM 的；而NSMM 与EFGM 的计算精度几乎一致，且远远高于其他3 种方法。图3.12 则给出了5 种方法的能量误差比较。从图3.12 可以看出，无网格法的精度都要高于FEM 的，NSMM 比FSMM 和TSMM 的精度高；虽然EFGM 的精度高于3种光滑无网格Galerkin 法的，但其收敛率却最低。这些结论很好地证明了随着光滑区域的增加，积分点的个数也随之增加，光滑无网格Galerkin 法的计算精度会逐步升高。图3.13 给出了3 种方法的CPU 时间比较。可以看出，在节点分布相同时，FSMM 的计算耗时比FEM 略多；NSMM 与SSMM 的计算耗时相当，比FSMM 的要多，但要远远小于EFGM 的。从精度和效率两个方面综合考虑，NSMM 是5 种方法中表现最好的。

图3.11　悬臂梁问题的位移误差比较

图3.12　悬臂梁问题的能量误差比较

图3.13　悬臂梁问题的CPU时间比较

3.4.5.2　无限大开孔平板

设一无限大平板，中心开有半径为α 的圆孔，在远离孔心的位置沿水平方向受σ0=1Pa 的轴向拉伸作用。该问题的解析解［102］为

其中r，θ 为以孔心为原点的极坐标，

考虑对称性，仅取平板右上角四分之一进行数值计算，见图3.14。设板长、宽均为b=5 cm，圆孔半径a=1 cm，弹性模量E=30 MPa，泊松比v=0.3。在底部和左侧边界上分别给定位移边界条件uy（x，0）=0 和ux（0，y）=0；在板右端（x=b）和上部（y=b）边界按精确解施加自然边界条件。

在平板模型上分别布置9×9，17×17 和33×33 个节点。图3.15、图3.16 和图3.17 分别给出了3 种节点分布下不同方法对应的位移误差、能量误差和花费的CPU 时间。从图3.15、图3.16可以看出，本文提出的NSMM 的精度与EFGM 的基本相同，要高于其他几种方法。图3.17 再次证明了NSMM 的效率要远远高于EFGM。

图3.14　无限大开孔平板模型

图3.15　无限大开孔平板问题的位移误差比较

图3.16　无限大开孔平板问题的能量误差比较

图3.17　开孔平板问题的CPU时间比较

3.4.5.3　双连拱隧道

设有一双连拱形隧道［103］，基本结构如图3.18 所示。分别采用本书方法（NSMM）和EFGM，按照平面应变假设分析隧道围岩和衬砌在自重作用下的变形和应力分布。计算过程中，围岩及混凝土力学参数见表3.1；三角形背景网格划分见图3.19。将单元角点作为节点，共5145 个背景单元、2729 个节点。根据对称性，模型左侧边界上各点处x 方向固定，y 方向自由，而在下边界上各点x 方向自由，y 方向固定。

表3.1　材料参数性能

图3.18　双连拱隧道结构

图3.19　三角形背景网格和边界条件

图3.20 和图3.21 分别给出了由NSMM 的计算结果绘制的第一、第二主应力云图。由图3.20 可以看出，拱圈顶部附近、仰拱拱底附近、边墙和中墙基础底部都出现了较大的拉应力。从图3.21 可以看出，几个形状突变较为明显的区域，由于应力集中导致了较大压应力的出现。图3.20 和图3.21 的结论与文献［103］的结论是一致的。NSMM 与EFGM 的计算结果十分接近，但EFGM的CPU 用时为197.48 秒，而本书方法仅为35.44 秒，进一步说明本书方法具有极高的计算效率。

图3.20　第一主应力

图3.21　第二主应力