3.4.4　两层嵌套光滑积分网格

为了计算光滑应变，光滑区域的选择至关重要。刘桂荣等［67］基于背景积分网格本身、网格边界和网格顶点依次建立了不同类型的S-PIM。很显然，将背景三角形积分网格作为光滑区域是最简单、最直接的，不需要任何的附加工作。根据公式（3.68）和刘桂荣等［67］的研究结论，光滑区域内的光滑应变是个常数，导致了网格型光滑无网格法仅能达到线性精度，也就是说与传统三角形有限元法的精度相当。为了提高计算精度，进一步细分三角网格是非常有必要的。然而，细分过多的光滑子网格又会大大降低光滑无网格法计算效率。因此，寻找到最优的光滑网格细分方案是发展高效和高精度光滑无网格法的关键。本书提出两层嵌套光滑区域解决背景网格细分的问题。

首先将问题域离散为三角形背景积分网格。每个三角形网格称为父网格［见图3.9（a）］。然后依次连结父网格的三条边的中点，形成四个等面积的子网格，如图3.9（b）所示。

在每个光滑子网格边界上取一个高斯积分点，则根据方程（3.68），图3.9（a）所示的父网格对应的光滑应变矩阵为

图3.9　两层嵌套三角形光滑网格

其中lJ和xJ分别是第J 条边的边长和高斯积分点（即边界中点），nxJ和nyJ分别是第J 条边单位外法线分别沿x，y 方向的分量。组装所有父网格的光滑刚度矩阵可得

由方程（3.73），可以很容易计算第m 个子网格对应的光滑应变矩阵为

其中。组装所有子网格的光滑刚度矩阵为

由图3.9 可知每个光滑子网格的特征长度减小为父网格特征长度的一半，根据经典的Richardson 外推法理论［100，101］，方程（3.74）和（3.76）的最优线性组合

可以生成更高精度的解。方程（3.77）是在同时考虑粗和细两种网格的基础上建立的，因此称为二层嵌套光滑区域。

在编程计算公式（3.74）和（3.76）的过程中，由于每个光滑积分区域的边界上采用1 个积分点（线段中点）时，该点处的形函数值正好可以用线段两端点的形函数值的平均值表达。这样的话，每个三角形背景网格中需要3 个顶点和3 个线段中点，总共6 个积分点即可。