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无网格法理论及MATLAB程序

1.1

前言
1.2

目录
1.3

1　绪　论
1.3.1

1.1　引言
1.3.2

1.2　无网格法的研究进展
1.3.3

1.3　对无网格法的粗浅认识
1.4

2　无网格法的近似函数
1.4.1

2.1　移动最小二乘（MLS）近似
1.4.1.1

2.1.1　MLS形函数
1.4.1.2

2.1.2　权函数与支持域
1.4.1.3

2.1.3　MLS形函数的特点
1.4.1.4

2.1.4　MLS形函数的MATLAB程序
1.4.2

2.2　径向基点插值近似函数
1.4.2.1

2.2.1　RPIM近似函数
1.4.2.2

2.2.2　RPIM形函数的性质
1.4.2.3

2.2.3　RPIM近似函数的MATLAB程序
1.5

3　弹性静力学问题的无网格法
1.5.1

3.1　弹性力学的基本方程和边界条件
1.5.1.1

3.1.1　弹性力学基本假设
1.5.1.2

3.1.2　重要的物理量
1.5.1.3

3.1.3　平衡方程
1.5.1.4

3.1.4　物理方程（本构方程）
1.5.1.5

3.1.5　应变能、余能和总位能
1.5.2

3.2　无网格Galerkin法（EFGM）
1.5.2.1

3.2.1　含拉格朗日乘子的EFGM 公式
1.5.2.2

3.2.2　含罚函数的EFGM 公式
1.5.2.3

3.2.3　积分方案
1.5.2.4

3.2.4　EFGM 的计算流程
1.5.3

3.3　径向基点插值法（RPIM）
1.5.4

3.4　光滑无网格Galerkin法
1.5.4.1

3.4.1　光滑应变
1.5.4.2

3.4.2　系统离散方程
1.5.4.3

3.4.3　施加边界条件
1.5.4.4

3.4.4　两层嵌套光滑积分网格
1.5.4.5

3.4.5　数值算例
1.5.5

3.5　EFGM的MATLAB程序
1.6

4　弹性动力学问题的无网格法
1.6.1

4.1　改进的MLS近似
1.6.2

4.2　弹性动力学问题的EFGM
1.6.3

4.3　弹性动力学问题的光滑Galerkin无网格法
1.6.4

4.4　自由和受迫振动分析
1.6.5

4.5　数值算例
1.6.5.1

4.5.1　自由振动分析
1.6.5.2

4.5.2　悬臂梁受迫振动分析
1.6.6

4.6　动力学问题中MATLAB程序
1.6.6.1

4.6.1　子空间迭代法
1.6.6.2

4.6.2　Newmark方法的MATLAB程序
1.7

5　线弹性断裂力学问题的无网格法
1.7.1

5.1　线弹性断裂力学
1.7.2

5.2　EFGM中求解断裂问题的几种处理技术
1.7.2.1

5.2.1　权函数修正法
1.7.2.2

5.2.2　内部基函数扩展
1.7.2.3

5.2.3　外部MLS扩展
1.7.2.4

5.2.4　外部单位分解扩展
1.7.3

5.3　单位分解扩展RPIM求解复合应力强度因子
1.7.3.1

5.3.1　单位分解法
1.7.3.2

5.3.2　单位分解扩展RPIM（X-RPIM）的位移模式
1.7.3.3

5.3.3　控制方程的弱形式及其离散化
1.7.3.4

5.3.4　相互作用积分（M积分）
1.7.3.5

5.3.5　数值算例
1.7.3.6

5.3.6　X-RPIM的MATLAB程序
1.7.4

5.4　模拟多裂纹问题的无网格法
1.7.4.1

5.4.1　多裂纹问题的内部基扩充无网格法
1.7.4.2

5.4.2　多裂纹问题的XFEM
1.7.4.3

5.5.3　数值算例
1.8

6　裂纹扩展的水平集和无网格耦合法
1.8.1

6.1　水平集及其更新算法
1.8.1.1

6.1.1　水平集描述裂纹
1.8.1.2

6.1.2　模拟裂纹扩展的水平集更新算法
1.8.2

6.2　水平集和无网格耦合方法
1.8.2.1

6.2.1　不连续位移模式
1.8.2.2

6.2.2　控制方程的弱形式及其离散化
1.8.3

6.3　裂纹扩展准则及确定新裂纹尖端
1.8.3.1

6.3.1　最大周向应力准则
1.8.3.2

6.3.2　裂纹扩展步长的确定
1.8.3.3

6.3.3　新裂纹尖端坐标的确定
1.8.4

6.4　数值实验
1.8.4.1

6.4.1　应力强度因子的计算
1.8.4.2

6.4.2　裂纹扩展模拟
1.9

7　接触摩擦问题的扩展无网格法分析
1.9.1

7.1　扩展无网格法的不连续位移模式
1.9.2

7.2　基于互补理论的接触问题描述
1.9.2.1

7.2.1　接触面方程
1.9.2.2

7.2.2　接触问题的虚功方程
1.9.3

7.3　无网格离散控制方程及线性互补方法
1.9.3.1

7.3.1　离散控制方程
1.9.3.2

7.3.2　方程求解
1.9.4

7.4　数值算例
1.9.4.1

7.4.1　含贯通节理方板
1.9.4.2

7.4.2　边裂纹受压力作用
1.9.4.3

7.4.3　受压裂纹应力强度因子
1.9.5

7.5　Lemke算法的MATLAB实现
1.10

参考文献

1.5.4.1 3.4.1　光滑应变

3.4.1　光滑应变

广义梯度光滑算子［64，65］作用于协调应变ε（x）

其中为节点xc处的光滑应变，Φ 为光滑函数，满足　Ω∫Φ（x；x－xc）dΩ＝1。简单起见，取

pagenumber_ebook=66,pagenumber_book=54

其中Ac=　Ωc∫dΩ 为光滑区域Ωc的面积。

将公式（3.64）代入公式（3.63），有

pagenumber_ebook=66,pagenumber_book=54

其中nx和ny分别为光滑区域边界Γc上的单位外法线沿坐标轴方向的分量；u 和v 分别为沿坐标轴方向的位移分量。

将MLS 近似代入方程（3.65），则光滑应变为

pagenumber_ebook=67,pagenumber_book=55

其中称为光滑应变矩阵，具体形式为

pagenumber_ebook=67,pagenumber_book=55

其中

pagenumber_ebook=67,pagenumber_book=55