从EFGM 的公式推导可以看出，EFGM 的格式与有限元格式极为相似，但由于无网格法采用节点对问题域离散，不存在网格，而且其近似函数的形式往往不是多项式，因此不能像有限元那样直接采用高斯积分对式（3.46）—（3.49）和（3.55）—（3.56）进行积分，必须采用特殊的积分方案。这些积分方案主要有节点积分［63-65，89］、应力点积分［91-94］、单位分解积分［95-97］、背景网格积分［4，58，98］、笛卡尔转换法积分［99］等。下面简要介绍一下这些积分方案的主要思想。

节点积分是Beissel 等人［63］首先提出的，他们将节点作为积分点，对于任意函数f（x）在域内Ω 内的积分可表示为

其中n 为域Ω 中的节点总数，f（xi）为函数f（x）在节点xi处的函数值，Vi为节点xi所代表的面积（或体积），由计算开始时建立的Voronoi 图确定。该方法计算效率高，但与有限元法的单点积分类似，存在零能模态，是不稳定的。Beissel 等［63］通过在泛函中添加控制方程残差的平方项的方法来消除零能模态。Kucherov等［90］则采用在节点处引入具有一阶不连续导数的形函数，同时将能量积分转化为各节点局部子域积分以消除不稳定。Chen等［64，65］提出应变光滑化的稳定节点积分法，他们认为是无网格形函数在节点处的导数值为零才导致了这种不稳定。应变光滑化方法不需要计算近似函数的导数，可以有效地消除节点积分不稳定的缺陷。

应力点积分是Dyka 等［91，92］在解决SPH 的一维拉伸不稳定问题时提出的，后来被Randles 等［93］推广到高阶问题。其具体形式为

式中ns为引入的一组辅助节点的总数，这些辅助节点称为应力点。Fries 等［94］分析了EFGM 中引入应力点积分时的收敛性和稳定性。数值结果表明，当节点规则分布时，该方法的收敛性很好；但当节点分布不规则时，可能会引起数值振荡。

单位分解积分是由Carpinter 等人［95］和Duflot 等人［97］提出的，该方法巧妙地利用了单位分解函数的性质。其具体形式为

式中Ωk为互不覆盖的背景网格，ψk（x）为单位分解函数。当x∈Ωk时，ψk（x）＝1；当x∉Ωk，ψk（x）＝0。若将MLS 近似函数选为ψk（x），称为移动最小二乘积分。Carpinteri 等［98］针对断裂问题对单位分解积分进行了改进。

背景网格积分是Belytschko 等人［4，58，98］提出的，具体做法是将问题域Ω 划分为nc个积分网格，每个网格中均采用高斯积分实现

式中为第i 个高斯点xQi的高斯加权因子，为对背景网格k在积分点xQi处进行面积分的Jacobian 矩阵。如果使用背景积分网格［见图3.7（a）］，则积分网格定点与节点位置保持一致，与有限元网格类似；若使用结构网格［见图3.7（b）］，则积分网格是规则分布的，与节点位置无关。

节点积分和应力点积分往往应用于动态和大变形问题中，而背景网格积分在模拟小变形和中等变形问题时具有更高的计算精度。

图3.7　积分网格