3.2.1　含拉格朗日乘子的EFGM 公式

如果采用拉格朗日乘子法处理位移边界条件，需要用拉格朗日乘子将约束条件引入到势能方程中，

式中λ=［λ1,λ2］T为拉格朗日乘子向量。方程（3.33）的弱变分形式为：

由总势能最小要求，从而得到Galerkin 弱形式：

为了得到场变量的近似值，在问题域内分布有限个节点，并对节点进行编号。假设任意计算点内包含有n 个节点，则由MLS 近似（2.19）式可给出该点处的位移近似

上式中uh（x）为计算点x 的近似位移，NI（x）为节点I 的形函数，uI，vI为节点分别沿x 方向和y 方向位移。

将式（3.36）写成矩阵形式为

式（3.37）的变分形式为

由几何方程（3.30）和MLS 近似（2.19），可以得到应变分量为

其中：

为应变矩阵。

由物理方程（3.31）和（3.39）可得任一点处的应力分量为

拉格朗日乘子λ 通常视为位置坐标的函数，其MLS 近似函数可表示为

其中为本质边界上的计算点，nλ为点支持域内的节点数目，代表影响域内第I 个节点的形函数。将式（3.42）写成矩阵形式

其中为节点I 处的形函数矩阵，Λ＝［λu1λv1… λunλvn］T为拉格朗日乘子列向量。相应地，式（3.43）的变分为

将式（3.37）、（3.38）、（3.39）、（3.41）、（3.43）和（3.44）代入式（3.35），整理后可得

令

并考虑δuT和δΛT的任意性，式（3.45）成立时仅需满足

将上式写成矩阵形式为

式（3.51）使用拉格朗日乘子法的EFGM 的系统离散方程。通过求解式（3.51），我们可以得到名义位移参数u 和拉格朗日乘子Λ，然后利用式（3.37）便可得到问题域内任意节点的位移值。拉格朗日乘子法可以准确地施加本质边界条件，从而保证EFGM具有较高的精度和稳定性。但由于拉格朗日乘子的出现增加了系统矩阵的维数和待求变量的个数。当本质边界上的节点数目较多时，有可能会降低EFGM 的计算效率。