1994年，为了避免FEM 面临的网格生成、重构以及其他与网格有关的困难，Belytschko 等［6］提出EFGM。基于散乱数据的灵活插值、任意阶的光滑形函数、超收敛的数值结果以及在断裂力学问题中的成功表现，使EFGM 很快成为了计算力学和工程领域众多研究者关注的热点，同时也掀起了无网格方法研究的热潮。到目前为止，已提出几十种无网格方法，并在偏微分方程数值解、金属冲压成形、高速冲击、裂纹动态扩展、流固耦合和局部化等诸多领域取得令人满意的成果。尽管无网格法种类繁多，但极少有数值方法能同时兼顾EFGM 的灵活性、高精度和稳定性。因此，EFGM 仍然具有十分重要的研究价值和地位。下面将以弹性力学问题为例详细介绍EFGM 的基本原理。

上节中已经给出了二维弹性力学问题的偏微分方程和边界条件，具体形式为：

其中uT＝［u，v］是Ω 内任意一点的位移向量，σT＝［σxx，σyy，τxy］为应力向量，εT＝［εx，εy，γxy］为应变向量，bT＝［bx，by］是体力向量分别表示自然边界Γt上给定的面力和位移边界Γu上给定的位移。根据方程（3.27），（3.28）和（3.22），弹性体对应的势能方程为

正如上一章描述的，MLS 的近似函数不具有Kronecker delta 函数性质，即Nj（xi）≠δij。这意味着近似函数不具有插值性质，即，因此本质边界条件不能够直接施加，需要一些特殊的处理方法。这些方法可以主要分为边界配置法［83-85］、拉格朗日乘子法［4，12］、修正变分原理［83，86］、罚函数法［87，88］与有限元耦合法［61，62，89］等。本节中将依次介绍拉格朗日乘子法和罚函数法。