3.1.2　重要的物理量

3.1.2.1　位移

位移是指位置的移动。二维情况下，用包含两个分量的位移向量来表示。如图3.1 所示，二维笛卡尔坐标系下，物体内一点p，变形后移动到了p'。p 点的位移，用它在x 和y两个方向上的分量表达。用矩阵或向量形式表示为

图3.1　位移

3.1.2.2　应变

物体在受到外力作用下会产生一定的变形，变形的程度称为应变。应变分为线应变（正应变）和切应变（角应变）。它们的定义分别为：

某坐标方向线应变=（微小线段变形后长-微小线段原长）/微小线段原长。

切应变=正交的微小线段角度的改变量。

图3.2（a）和（b）描述了控制体ΔxΔy 分别在x 和y 方向的变形，图3.2（c）则描述了控制体的组合变形。在小变形假设的情况下，引入三个独立变量εxx，εyy和γxy描述控制体的变形。

图3.2　微元变形

根据定义，沿两个坐标方向的线应变为

方程（3.2）—（3.4）称为几何方程。在有限元法或无网格法中，应变通常写成行向量形式

方程（3.2）—（3.4）可写成

其中L 为梯度矩阵算子

3.1.2.3　外力和应力

根据作用域的不同，外力可分为体积力和表面力。体积力是作用在物体内部体积上的外力，简称体力。例如重力、惯性力、电磁力等。体力通常定义为

其中Δv 为受体力作用的微元体的体积，ΔF 为Δv 上受到的合外力。

表面力是作用于物体表面上的外力，简称面力。例如液体或气体的压力、固体间的摩擦力等。面力通常定义为

其中Δs 为受面力作用的微元面的面积，ΔG 为Δs 上受到的合外力。

物体在外力作用下发生变形，变形改变了分子间距，在物体内部形成了一个随变形而增大的附加内力场。当这个内力场与外力平衡时，变形不再继续，物体达到平衡状态。为了描述内力场，柯西引入了应力的概念。在二维情况下，在物体内取出一个微小的矩形，它的边平行于坐标轴。将每一个面上的应力分解为一个正应力和一个剪应力，分别与两个坐标轴平行，如图3.3 所示。

图3.3　应力分量

正应力用σxx，σyy表示，下标表示正应力的作用面和作用方向。例如，正应力σxx是作用于垂直于Ox的面（或线）上，并沿着Ox轴的方向作用的。剪应力用τxy，τyx表示，其前一个下标表示作用面的外法线方向，后一个下标表示剪应力作用方向沿哪一个坐标轴。例如，剪应力τxy是作用于垂直于Ox轴的面（或线）上而沿着Oy轴的方向作用的。由力矩平衡关系，很容易得到τxy=τyx。

类似应变矩阵，应力也可以写成矩阵的形式：

面力与应力在数学定义和物理量纲上是相同的，不同之处在于面力是作用在物体表面上的已知外力，而应力则是作用在物体内截面上的未知内力。当内截面无限趋近于外表面时，应力也趋近于外加面力的值，如图3.4 所示的微元体。图3.4 中的三角形微元体是从物体边界上任意选取的，其厚度为设为一个单位，其边界上的面力矢量为，应力和单位外法线矢量都分解在x和y 方向上。由力的平衡方程，我们很容易得到

注意到τxy=τyx，dy=nxdΓ，dx=nydΓ，方程（3.11）简化为

图3.4　边界微元体