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无网格法理论及MATLAB程序

1.1

前言
1.2

目录
1.3

1　绪　论
1.3.1

1.1　引言
1.3.2

1.2　无网格法的研究进展
1.3.3

1.3　对无网格法的粗浅认识
1.4

2　无网格法的近似函数
1.4.1

2.1　移动最小二乘（MLS）近似
1.4.1.1

2.1.1　MLS形函数
1.4.1.2

2.1.2　权函数与支持域
1.4.1.3

2.1.3　MLS形函数的特点
1.4.1.4

2.1.4　MLS形函数的MATLAB程序
1.4.2

2.2　径向基点插值近似函数
1.4.2.1

2.2.1　RPIM近似函数
1.4.2.2

2.2.2　RPIM形函数的性质
1.4.2.3

2.2.3　RPIM近似函数的MATLAB程序
1.5

3　弹性静力学问题的无网格法
1.5.1

3.1　弹性力学的基本方程和边界条件
1.5.1.1

3.1.1　弹性力学基本假设
1.5.1.2

3.1.2　重要的物理量
1.5.1.3

3.1.3　平衡方程
1.5.1.4

3.1.4　物理方程（本构方程）
1.5.1.5

3.1.5　应变能、余能和总位能
1.5.2

3.2　无网格Galerkin法（EFGM）
1.5.2.1

3.2.1　含拉格朗日乘子的EFGM 公式
1.5.2.2

3.2.2　含罚函数的EFGM 公式
1.5.2.3

3.2.3　积分方案
1.5.2.4

3.2.4　EFGM 的计算流程
1.5.3

3.3　径向基点插值法（RPIM）
1.5.4

3.4　光滑无网格Galerkin法
1.5.4.1

3.4.1　光滑应变
1.5.4.2

3.4.2　系统离散方程
1.5.4.3

3.4.3　施加边界条件
1.5.4.4

3.4.4　两层嵌套光滑积分网格
1.5.4.5

3.4.5　数值算例
1.5.5

3.5　EFGM的MATLAB程序
1.6

4　弹性动力学问题的无网格法
1.6.1

4.1　改进的MLS近似
1.6.2

4.2　弹性动力学问题的EFGM
1.6.3

4.3　弹性动力学问题的光滑Galerkin无网格法
1.6.4

4.4　自由和受迫振动分析
1.6.5

4.5　数值算例
1.6.5.1

4.5.1　自由振动分析
1.6.5.2

4.5.2　悬臂梁受迫振动分析
1.6.6

4.6　动力学问题中MATLAB程序
1.6.6.1

4.6.1　子空间迭代法
1.6.6.2

4.6.2　Newmark方法的MATLAB程序
1.7

5　线弹性断裂力学问题的无网格法
1.7.1

5.1　线弹性断裂力学
1.7.2

5.2　EFGM中求解断裂问题的几种处理技术
1.7.2.1

5.2.1　权函数修正法
1.7.2.2

5.2.2　内部基函数扩展
1.7.2.3

5.2.3　外部MLS扩展
1.7.2.4

5.2.4　外部单位分解扩展
1.7.3

5.3　单位分解扩展RPIM求解复合应力强度因子
1.7.3.1

5.3.1　单位分解法
1.7.3.2

5.3.2　单位分解扩展RPIM（X-RPIM）的位移模式
1.7.3.3

5.3.3　控制方程的弱形式及其离散化
1.7.3.4

5.3.4　相互作用积分（M积分）
1.7.3.5

5.3.5　数值算例
1.7.3.6

5.3.6　X-RPIM的MATLAB程序
1.7.4

5.4　模拟多裂纹问题的无网格法
1.7.4.1

5.4.1　多裂纹问题的内部基扩充无网格法
1.7.4.2

5.4.2　多裂纹问题的XFEM
1.7.4.3

5.5.3　数值算例
1.8

6　裂纹扩展的水平集和无网格耦合法
1.8.1

6.1　水平集及其更新算法
1.8.1.1

6.1.1　水平集描述裂纹
1.8.1.2

6.1.2　模拟裂纹扩展的水平集更新算法
1.8.2

6.2　水平集和无网格耦合方法
1.8.2.1

6.2.1　不连续位移模式
1.8.2.2

6.2.2　控制方程的弱形式及其离散化
1.8.3

6.3　裂纹扩展准则及确定新裂纹尖端
1.8.3.1

6.3.1　最大周向应力准则
1.8.3.2

6.3.2　裂纹扩展步长的确定
1.8.3.3

6.3.3　新裂纹尖端坐标的确定
1.8.4

6.4　数值实验
1.8.4.1

6.4.1　应力强度因子的计算
1.8.4.2

6.4.2　裂纹扩展模拟
1.9

7　接触摩擦问题的扩展无网格法分析
1.9.1

7.1　扩展无网格法的不连续位移模式
1.9.2

7.2　基于互补理论的接触问题描述
1.9.2.1

7.2.1　接触面方程
1.9.2.2

7.2.2　接触问题的虚功方程
1.9.3

7.3　无网格离散控制方程及线性互补方法
1.9.3.1

7.3.1　离散控制方程
1.9.3.2

7.3.2　方程求解
1.9.4

7.4　数值算例
1.9.4.1

7.4.1　含贯通节理方板
1.9.4.2

7.4.2　边裂纹受压力作用
1.9.4.3

7.4.3　受压裂纹应力强度因子
1.9.5

7.5　Lemke算法的MATLAB实现
1.10

参考文献

1.4.2.2 2.2.2　RPIM形函数的性质

2.2.2　RPIM形函数的性质

图2.4 给出了RPIM 形函数及其x 方向偏导数图。从RPIM近似函数的推导和图2.4 可以看出，RPIM 形函数有如下特点：

（1）具有Kronecker δ 函数性质，可以方便施加本质边界条件。

（2）拥有单位分解性，即有

pagenumber_ebook=41,pagenumber_book=29

（3）具有高阶连续性。

（4）含有多项式基的RPIM 能精确再生线性多项式。

（5）具有紧支性，在支持域外其值为0。

（6）无法保证整体域上的协调性。RPIM 中不使用权函数，因此当节点进入或离开支持域时，其近似形式可能是不连续的。

pagenumber_ebook=42,pagenumber_book=30

图2.4　RPIM形函数（a）及其x方向一阶偏导数（b）