2.2.1　RPIM近似函数

点插值无网格法［41］（Point interpolation method，PIM）是一种级数表达型的函数近似方法，简单而实用。该方法中多项式基函数的个数m 与支持域内的节点数目n 总是保持一致，而在MLS近似中，n 总是大于m 的。这就使得PIM 近似函数具有Kronecker delta 函数性质，易于施加本质边界条件。但是，对于一组给定的节点，当多项式基函数选择不当时，将导致力矩矩阵的条件数恶化甚至产生奇异的力矩矩阵。为了避免力矩矩阵的奇异性，径向基函数（Radial basis function，RBF）被引入到PIM 基函数中，形成了径向基点插值无网格法（RPIM）［42］。RPIM 的近似函数可表示为

式中Pj（x）为基函数，通常为关于空间坐标xT=［x，y］的单项式，m 为单项式的个数。研究表明，二维情况下m=3 就足够了，即

aT=［a1，a2，…，an］和bT=［b1，b2，…，bm］均为系数向量。Ri（r）为径向基函数（RBF），其形式非常多，表2.1 给出几种常见的RBF函数。

为了计算式（2.39）中的系数ai，bj，需形成计算点x 的影响域，其中包括n 个节点。令式（2.39）满足n 个节点函数值便可在n 个节点上形成n 个线性方程，写成矩阵形式为

式中Us= ｛u1，u2，…，un｝T为节点函数值向量，R0为RBF 的力矩矩阵，具体形式为

表2.1　典型的径向基函数

注：ri为插值点x 到域内节点xi的距离；dc等于局部支持域中的节点平均间距；参数值根据文献［42］的实验结果给出。

添加约束条件

联立式（2.41）和式（2.44）可得到如下矩阵方程

因为矩阵是对称的，因此矩阵G 也是对称的。求解式（2.45）可得

将式（2.46）代入式（2.41）得RPIM 的插值函数为：

式中：=［u1，u2，…，un，0，0，…0］T为节点位移向量，

最终对应影响域内节点位移向量的RPIM 形函数N（x）表示为

近似函数可重写为

式中Us=［u1，u2，…，un］T。其偏导数为