2.1.2　权函数与支持域

MLS 的形函数N（x）的光滑性和连续性取决于基函数P 和权函数w（x）的光滑性。通常，在求解域Ω 及其边界的每个节点xi处均须定义一个权函数wi（x）=wi（x-xi）。该权函数需要满足以下条件：

一是在支持域中wi（x）＞0，在支持域外wi（x）＝0，即紧支性；

二是从计算点x 处开始wi（x）单调递减；

三是wi（x）要足够光滑，尤其是在边界上。

满足上述条件的权函数很多，研究和使用较多的主要有：

（1）高斯权函数

（2）指数型权函数

（3）三次样条权函数

（4）四次样条函数

图2.1　节点的支持域（左侧：圆形；右侧：矩形）

在上述权函数中r=di/dmi，dmi=scale·ci为第i 个节点的支持域半径，ci为第i 个节点处的节点平均间距。scale 为大于1 的尺度因子，通常情况下scale=2.0～3.0。计算点的插值精度取决于支持域中的节点，支持域可选取为如图2.1 所示的矩形和圆形局部子域。若为圆形支持域，则di=‖x-xi‖。若为矩形支持域，权函数一般可表示为

式中rx，ry与权函数表达形式中的r 意义相同，形式为

其中dmx=scale·cix，dmy=scale·ciy。图2.2 绘制了四次样条权函数及其x 方向一阶偏导数图。

图2.2　四次样条权函数（a）及其x方向一阶偏导（b）