2.1.1　MLS形函数

MLS 近似最早由Lanscaster 和Salkamkas 提出［79，80］，用于数据拟合以及表面生成研究。1994年MLS 被Belytschko 等［4］引入并建立了EFGM，目前MLS 已成为许多无网格法必不可少的组成部分。

设待求函数u（x）在求解域Ω 中的n 个节点xI=（I=1，2…，n）处的函数值为uI=u（xI）是已知的，则u（x）在计算点x 的邻域Ωx内可以局部近似为

其中是计算点x 的邻域Ωx内各点的空间坐标；基函数为m 次完备单项式；ai（x）为包含空间坐标x 的待求系数；m 为基函数的项数。通常，一维情况下的基函数可选为

二维情况下的基函数可选为

线性基

二次基

三维情况下的基函数可选为

线性基

二次基

当然，基函数还可以选取其他函数，如三角函数和奇异函数，只要满足以下条件

其中Ck（Ω）表示域内具有直到k 阶连续导数的函数空间。

式（2.1）中的系数ai（x）可由L2范数J（x）取极小值的条件来确定。J（x）具体形式为

令=0，可得

其中

在二维问题中，若单项式项数m＝3，则A 为对称的3×3 矩阵，B 为3×n 矩阵，可表示为

由式（2.10）可求得系数向量a（x）：

将a（x）代入式（2.1），可得MLS 的近似函数

式中N（x）为对应点x 的支持域中n 个节点的MLS 形函数，具体形式为

为了快速地得到MLS 形函数的导数，Belytschko 等［81］将式（2.19）重新定义为

由于A 是对称的，γT由式（2.21）解得

然后通过求解以下方程得到γ的偏导数

式中i、j、k 分别代表坐标x、y，逗号表示对其后面的空间变量求偏导。利用式（2.20）-（2.25）则MLS 形函数的偏导数为