我们了解了一些行星绕着太阳公转的基本情况。不过，行星运动的基本定律不是沿着轨道运行，而是它们的运动是由万有引力决定的。根据牛顿的说法，引力定律是：宇宙中的每个质点都会受到其他质点的吸引，它们之间的吸引力和距离的平方是反比关系。后来，爱因斯坦将这个定理进行拓展，将质量和能量结合起来，即能量也有引力效应（通过著名的公式E=mc2可以将能量转化为质量，然后计算出引力的大小）。现在，人们施加在物质上的任何作用都无法改变物质的引力。两个物体相互吸引的力一样大，不管它们之间存在任何障碍物，还是它们之间有着遥远的距离，或者它们的运动非常迅速，但它们之间的引力依然是相等的。

行星之间的引力决定着它们的运动。即使只有一颗行星绕着太阳运行，它也会一直转动下去，因为它始终受到太阳的吸引。通过数学计算可知，这颗行星的运行轨道是椭圆形，太阳位于其中的一个焦点上。这颗行星会始终沿着椭圆轨道运行，开普勒在17世纪时首先观察到了这个现象（其实，借助了第谷的观测资料），很久之后牛顿通过自己的万有引力定律证实了这种情况。同理，根据定律可知，这些行星相互吸引。不过，与太阳的引力相比，行星之间的引力太小了，因为太阳系中的行星质量要远远小于太阳的质量。这些相互吸引导致慢慢偏离原来的椭圆轨道。这颗行星的运行轨道看起来像椭圆形，但不是真正的椭圆形。此外，这颗行星的运动与数学紧密相关。从牛顿时期开始，这个问题就受到世界各地著名数学家的关注，每一代都在研究并修补上一代的不足之处。牛顿时代的100年之后，拉普拉斯和拉格朗日（Lagrange）进一步解释了行星椭圆轨道的位置变动情况。在几千年或者几万年，甚至是几十万年前预测出这些变动情况。因此，我们明白地球绕着太阳运行轨道的偏心率逐渐在缩小，这种变化会持续大约4万年的时间；以后，偏心率会逐渐增大，而在几万年之后会比现在还要大。同理，其他行星的情况也是一样。在数万年的时间中，它们的轨道形状也在往复变化，如果不是数理学家们以前的预言被一一证实了，读者可能会怀疑对千万年后的预言是否是正确的呢。这种准确性来源于精确地测量出每颗行星对其他行星的运动造成的影响。在我们预言这些天体的运动之前，我们假设它们绕着太阳公转的椭圆轨道是固定不变的（这是排除其他行星的引力之后的情况）。这样一来，我们的预言常常出现偏差，偏差程度大约是几分之一度，经过很长时间之后可能会增大。

不过，如果加上其他行星的引力，预言的准确性将会变得非常高，即使现代最精密的天文观测也难以察觉出其中的误差。我们在前文讲述的海王星的发现史，就是证明这种预言的可靠性的最佳事例。

怎样称量行星

现在，我们简要描述一下数理天文学家们是怎样得出上述结果的。首先，他们要知道某颗行星对其他行星的吸引力与该行星的质量是正比关系。因此，我们可以这样认为，当天文学家们想要知道行星的质量时，他们需要称量一下行星。这个原理类似于屠夫使用弹簧秤称量牛腿的原理。当屠夫将牛腿提起来时，他会感受到地球对牛腿的拉力；当他将牛腿挂到秤钩上时，秤的弹簧承受了这个拉力。拉力越大，弹簧的拉伸程度就越大，而标尺上的读数正是这个拉力的大小。大家知道，这个拉力就是地球对牛腿的吸引力，但根据力的定律可知，牛腿对地球的吸引力等于地球对牛腿的吸引力。因此，这个屠夫只是去寻找牛腿对地球的吸引力多强，而且将这个吸引力称为牛腿的重量。根据这个原理，天文学家们通过一个物体对其他物体的吸引力确定该物体的重量。

当我们把这个原理引申到天体中时，我们面临着一个难以解决的难题，我们无法跑到天体上称量它们的重量。那么，我们怎样才能测量出天体的吸引力呢？在回答这个问题之前，我们需要解释一下物体的“质量”和“重量”的差异。在世界各地，物体的重量是不同的。如果一个物体在纽约的重量是15千克，那么，它在格陵兰（Greenland）的重量是15.03千克，而在赤道地区的重量是14.97千克。因为地球并不是一个球体，而是有一些扁，还与它的旋转有关。因此，随着地域的变化，重量也会有所不同。假如将地球上重15千克的牛腿带到月球上去，它的重量仅仅是2.5千克，因为月球的引力比地球引力小得多。不过，无论是在地球上还是在月球上，始终都是同一块肉，它的多少没有发生变化。如果将这个牛腿带到火星上，重量又会发生变化，带到太阳上又是另一个重量（大约是400千克）。因此，天文学家们不会说一颗行星的重量是多少，因为随着称量地方的变化，重量也会有所不同。他们只会说一颗行星的质量是多少，质量指的是构成行星的物质，无论在什么地方，质量都不会发生变化。

现在，我们继续讨论行星。我们已经说过，通过一个天体对另一个天体的引力能够测量出该天体的质量。我们可以通过两种方法测量行星之间的引力，一种是测量出一颗行星施加在邻近行星上的吸引力，即让它偏离独行时原有轨道的引力。我们测量出误差之后，便可以知道吸引力，然后计算出行星的质量。

读者需要注意，在计算过程中，所使用的数学计算非常精确，而且十分复杂。对于有卫星的行星来说，可以用更简单的方法得出结果，因为通过卫星的运动能够求出行星的吸引力。我们通过牛顿第一定律得知，在不受任何外力的情况下，一个运动物体会始终沿着直线做匀速运动。因此，假如有个物体正在沿着曲线运动，我们知道一定有其他力作用在这个物体上，而力的方向与曲线曲向的方向相同。将手中的石头抛出去就是一个很好的例子。如果地球没有吸引着石头，石头会始终沿着抛出去的路线运动，直到离开地球。不过，由于受到地球的吸引力，石头会一边前进一边向下运动，直到落在地面上为止。石头抛出去时的速度越大，它走过的路程就越远。对于一颗子弹来说，它在前一部分的路线类似于直线。我们在高山顶上水平地发射一枚炮弹，炮弹的速度是8千米/秒，如果它不受空气的阻力，所走过的路线曲度与地球表面相吻合，所以这枚炮弹永远不会落在地面上，而是会绕着地球旋转，就像沿着轨道运行的小卫星。如果真是这样的话，只要天文学家知道了炮弹的速度，便可以计算出地球的吸引力。月球是地球的卫星，它绕着地球的运动如同那枚炮弹，一位在火星上的观测者可以通过测量月球轨道得出地球的吸引力，就像我们通过落在地球上的物体测量地球的吸引力一样（其实，卫星的运行状况与主星的质量有关，但与自身的质量无关。推导过程是：向心力大约等于引力，即mv2=GMm/r2，这里的M和m分别表示主星的质量和卫星的质量，v表示卫星绕着主星的公转速度，r表示卫星的公转轨道半径。因此，v2=GM/r2，与卫星本身的质量m无关。）。

于是，对于拥有卫星的行星来说，地球上的观测者可以通过行星对卫星的吸引力计算出该行星的质量。而且，计算方法简单易懂。用行星和卫星之间的距离的立方除以卫星公转周期的平方，得出的商和行星的质量具有比例关系。这条规则可以用于绕着地球运行的月球运动和绕着太阳运行的行星运动，实际上，该规则进行拓展之后，将能够用于宏观世界中任何以引力导致的圆周运动。我们知道，地球与太阳之间的距离大约是1.5亿千米，这个数的立方除以地球公转一周的平均时间365.25日的平方，将会得到一个商数，我们将其称为太阳商数。如果我们用月球到地球的距离的立方除以月球公转周期的平方，将会得到另一个商数，我们将其称为地球商数。通过计算得知，太阳商数大约比地球商数大33万倍。因此，我们得出结论：太阳质量也比地球质量大33万倍，即33万个地球才能抵得上一个太阳。

我所说的算法是为了解释这条原理，但天文学家们的工作绝对没有这么简单。地球与月球之间的距离不是恒定不变的，而是在太阳的引力下不断变化，所以我们一般说的是平均距离。因此，天文学家们测量地球引力的方法是，在不同的纬度上，当钟摆的周期是一秒时，测量钟摆的长度。然后，通过精密的数学方法计算出与地球有一定距离的小卫星的公转周期，最后得出地球商数。

我们在前文说过，需要借助于卫星求出其他行星的商数。幸运的是，与太阳对月球的引力相比，其他卫星受到的引力小多了。根据火星的外层卫星，我们计算出火星商数是太阳商数的1/3085000。因此，火星质量也是太阳质量的1/3085000。此外，木星质量是太阳质量的1/1047，土星质量是太阳质量的1/3500，天王星质量是太阳质量的1/22700，海王星质量是太阳质量的1/19400。

天文学家的工作基础是万有引力定律，但这只是他们解决这个问题的基本原则。经过300多年的数学推演，这个定律才变成现在的样子。不过，与100多年前的科学家相比，现代科学家非常幸运，因为他们拥有计算机这个强大的计算工具。随着计算机技术的发展，科学家们的工作越来越方便。他们首先制定一些规则，然后将观测到的精密数据输入到计算机中，而计算机会根据预先输入的程序进行计算，大大地降低了人工计算量。不过，伟大的发现依然要依靠科学家们的准确预测和辛苦工作。