9.2.1　调幅信号分析

1)调幅信号的一般形式

幅度调制(Amplitude Modulation，AM)是用调制信号(基带信号)去调制载波的振幅，使载波振幅的包络随调制信号的变化而变化。这里载波通常是正弦波，频率为fc。调制信号可以是随机信号，也可以是确定信号，带宽为B。调制信号的带宽远小于载波的频率。调幅信号可表示如下：

式中vAM(t)为调幅信号；vc(t)为载波；vmc(t)为调制信号与载波的乘积；Ac为载波的振幅；ωc为载波的角频率；Am为调制信号的振幅；m(t)为归一化调制信号；α为调幅指数(0≤α≤1)。

2)调幅信号的频谱

根据傅里叶变换，有

式中　δ(ω)为单位冲击函数；M(ω)为m(t)的傅里叶变换；M(ω)的带宽为2B。

则调幅信号的频谱为

上述公式中采用的是角频率，也可以用频率表示。根据冲击函数的性质，有

则

3)调幅信号的功率谱

在工程中，用得更多的是功率谱，比如频谱仪测得到是功率谱。信号的功率谱可通过求自相关函数的方法得到，根据维纳-欣钦定理，一个信号的自相关函数与其双边功率谱是一对傅里叶变换。有两种方法可求得功率谱。第一种是先求出自相关函数，然后做傅里叶变换得到功率谱；第二种是先求出频谱VAM(f)，然后对VAM(f)进行共轭相乘，即取模再平方，同样可得到功率谱。下面采用第一种方法推导调幅信号的功率谱。

第一步，先求载波的双边功率谱。载波vc(t)为余弦函数，其自相关函数Rc(τ)为

则载波信号的双边功率谱为

第二步，求vmc(t)的双边功率谱。vmc(t)的自相关函数Rmc(τ)为

式中Rm(τ)为调制信号vm(t)的自相关函数。则vmc(t)的双边功率谱为

式中Sm(ω)为调制信号m(t)的双边功率谱。

最后，得出调幅信号的双边功率谱为

如果用频率表示，则

在实际工作中用频谱仪测量得到是物理功率谱，是一个单边功率谱，双边功率谱在物理世界中是不存在的。可以将双边功率谱转换为单边功率谱，在转换的过程中信号的总能量应保持不变。因此单边功率谱可写为

式中：第一项为载波功率谱，是一根离散的谱线；第二项是调制信号功率谱，其中心频率是fc。该公式与用频谱仪测量得到的结果一致。

4)单音调幅信号

令调制信号为单频余弦信号，则

利用三角恒等式，则有

上下边带的幅度为

式中AmD为下边带幅度；AmU为上边带幅度。则调制度为

载波和上下边带的功率为

式中Pc为载波功率，PmD为下边带功率，PmU为上边带功率，这三个值均可用频谱仪测量得到，则调制度也可表示为

式中　ΔPdB为用分贝表示的边带功率与载波功率差值。

用功率谱公式也可得出同样的结果，下面进行推导。已知

根据式(9-14)，将载波信号换成调制信号，有

根据式(9-20)，则单音调幅信号单边功率谱为

其图形见图9-6。

图9-6　单音调幅信号单边功率谱

单音调幅信号载波和上下边带的功率为