5.1.1　传输线基本方程及其解

1)分布参数电路模型

图5-1给出了双导线传输线的基本模型。它是处于无边界理想介质中的彼此绝缘的两条平行导线，两线的间距D远小于波长λ，导线的横截面沿线均匀相同，导线的直径d远小于D，线长l与波长λ可比拟，这种双导线传输线称为平行双线。

在平行双线的始端接信号源，终端接负载，同时假设平行双线不受其它电路影响，这时在一根导线上通过的电流与另一根导线上通过的电流大小相等，方向相反。

将坐标原点设在始端，在距原点z处取长度为Δz的线元，Δz远小于λ。该线元有如下参数，电感L1Δz、电容C1Δz、电阻R1Δz、电导G1Δz，其中L1、C1、R1、G1分别为单位长度的数值。

此时在Δz的线元上仍可用确定的电参数来表征，仍满足基尔霍夫电压定律和电流定律。这些参数沿双线均匀分布，称之为分布参数电路，由此建立的模型即为分布参数模型。

图5-1　平行双线分布参数电路模型

2)电报方程

由于线元Δz远小于λ，则线元Δz可用集中参数表示，并且是时间和空间的参数。设线元Δz输入端的电压和电流分别为u(z，t)和i(z，t)，输出端的电压和电流分别为u(z+Δz，t)和i(z+Δz，t)。根据基尔霍夫电压电流定律，线元Δz上的电压和电流变化为

对式(5-1)两边同时除以Δz，并令Δz趋于0，则有

对于频率为ω的信号源，电压和电流的瞬时值u(z，t)、i(z，t)与复振幅U(z)、I(z)的关系为

将式(5-3)带入式(5-2)，并消去时间因子ejωt，得

令

式中Z1称为单位长度的串联阻抗；Y1称为单位长度的并联导纳。

则式(5-4)变为

此即平行双线的基本方程，也称为电报方程。

3)均匀传输线的通解

把式(5-6)两边对z求微分，得

令

式中　γ为传输线的传播常数；α为γ的衰减常数；β为γ的相移常数。

则式(5-7)可写为

式(5-9)的通解为

根据式(5-6)，有

式中Z0为传输线的特性阻抗。Z0为

则式(5-10)可写为

将式(5-13)带入式(5-3)，得

式中ui(z，t)为入射波电压；ii(z，t)为入射波电流；ur(z，t)反射波电压；ir(z，t)为反射波电流。

4)均匀传输线的定解

(1)已知始端条件的解

原点设在始端，根据式(5-13)，有

得

则

用双曲函数可表示为

式中sh(γz)为双曲正弦函数；ch(γz)为双曲余弦函数。

sh(γz)与ch(γz)的公式为

(2)已知终端条件的解

首先将原点设在始端，导线长度为l，根据式(5-13)，有

可以得出

则有

设

即坐标原点设在终端，则

式中　第一项为终端的入射波；第二项为终端的反射波。

设

则

令

则

用双曲函数可表示为