3.3.2　系统时延-频率响应指标定义

对于系统的相频响应，一般用时延-频率响应指标来描述。根据希尔伯特变换对，系统的幅频响应和相频响应之间有内在的约束关系。如果在规定的频带内，幅频响应不是一个常数，那么则不能保证相频响应是线性关系，进而系统的时延-频率响应也不一定是常数，即系统的时延是频率的函数。由此引出一个问题，如何描述时延和频率的关系。下面介绍三种常用的时延，相位时延、群时延和包络时延。

1)相位时延

设有一个线性系统，输入一频率为ω的信号，该信号输入相位为

式中　Φ0(ω)为该信号的初相。

设系统在ω处的时延为tp(ω)，则该信号经过系统后的输出相位为

该信号的相移为

时延为

对于线性系统，这一公式是永远成立的。即对某一确定频率的信号，经过一个线性系统后，其时延等于相移除以频率，再取负数。所以tp(ω)可称为相位时延或绝对时延。

线性无失真系统的相频响应曲线见图3-6。

图3-6　线性无失真系统相频响应

线性无失真系统的相频响应曲线是一条过原点的斜线，斜率为常数-tp。图中标出了两个频率ω1和ω2，两个频率的相移分别为Φ1和Φ2，则线性无失真系统的相位时延为

同时，相位时延还可通过另外两种方法求出，即

或

由此看出，线性无失真系统的相位时延可由三种方式求出。第一种方式是相移除以频率；第二种方式可由相频响应的导数求出。第三种方式是两个频率的相移差除以频率差。这三个结果是一致的。其中第二种和第三种计算方式在工程上很有用处。因为有时绝对相移未必能够得到，比如存在整周模糊的情况下，只能得到±π内的相对相位值。如图3-7。

从图3-7中可以看出，此时无法通过绝对相移得到相位时延，但可以通过对相对相位求导或计算相移差，求得相位时延。

有线性相位失真的系统相频响应曲线如图3-8。

此时相频响应不再是线性的，各频率点处的相位时延不再相等。但相位时延公式仍然成立。所以图3-8中的tp1和tp2等于

图3-7　相对相位的相频响应

图3-8　线性相位失真系统相频响应

如果知道了相频响应，则可以准确求出相位时延-频率响应。

2)群时延

群时延是系统网络特性的函数，定义为系统在某频率处的相位对频率的变化率，即系统相频响应的导数。

下面介绍群时延的特点。设系统的输入信号为单位冲击函数，该函数在时域是时间无限短的脉冲，在频域则是由无限多个幅度为1，相位相同的频率分量组成。对该函数做如下处理：

·在频域，把单位冲击函数分解成无数波群，波群的间隔为Δω，每个波群的频率范围是nΔω到(n+1)Δω，中心频率为ωcn。

·Δω足够小，在第n个波群内，系统的幅频响应为常数，以中心频率处的幅度Acn来表示。

·Δω足够小，在第n个波群内，系统的相频响应可以用泰勒级数展开，有

则系统的输出信号为

整理后得

当χ为零时，gn(t)有最大值，则

该式表明，对于第n个波群，在t=0的时刻出现在系统的输入端，而在t=dΦcn/dω时刻，出现在系统的输出端。这就是系统对该波群产生的群时延。

用tg代替t，则群时延公式可写为

同时，群时延的相位公式为

群时延曲线见图3-9。

由以上分析可知，群时延的理论基础是，把系统的带宽分成无限多个，无限窄的子带，每个子带内，系统的幅频响应为常数，系统的相频响应呈线性。

在系统的相频响应曲线上，群时延tg是点(ωc，Φc)处的负导数。群时延相位Φg(ω)是一条过点(ωc，Φc)的直线，Φg(ω)的斜率为-tg，但前提条件是要满足在ωc处子带带宽无限窄。

对于一个有线性失真相位的系统，在系统的带宽内，各频率点处的群时延是不一样的。如果系统的相频响应由曲线逐渐变为直线，则各频率点的群时延相位将趋于平行，并最终与相频响应曲线重合，群时延值也将相等。在实际工作中，一般规定在一定的带宽内，群时延的变化不能超过一个给定的门限值。这就是群时延失真的物理意义。

图3-9　群时延

3)包络时延

包络时延定义为一个波的包络上两点之间的传播时间。设有一窄带信号，其表达式如下：

式中at为基带信号幅度；Φt基带信号相位；ωc载波频率。基带信号的带宽远小于载波频率。该信号涵盖了调幅、调频、调相数字调制等信号。

在讨论包络时延时，要对窄带信号和系统进行如下一些假设：

·基带信号的带宽远小于载波频率，并且远小于系统的带宽。

·在载波频率处，该信号带宽内，认为系统的幅频响应为常数，相频响应呈线性。

因此，信号经过一个有线性相位失真的系统后，其输出变为

式中te为基带信号的包络时延；tc为载波的相位时延。

下面以调幅信号为例证明这个公式。设调幅信号的表达式为

式中Ai为载波幅度；m为调制度；Ω为调制频率；ωc载波频率。

将式(3-36)展开，有

当xi(t)通过一个系统后，相对于输入，三个频率ωc，ωc+Ω，ωc-Ω分别产生三个相移Φωc，Φωc+Ω，Φωc-Ω。则输出信号为

用一直线段连接点(ωc+Ω，Φωc+Ω)和(ωc-Ω，Φωc-Ω)，该线段中点对应的频率是ωc，对应的相位是Φc，则Φc等于

根据前面的假设条件，在载波频率ωc处，信号带宽内，系统的幅频响应为常数，相频响应呈线性，必有

所以有

整理后得

则包络时延te等于

而此时载波的相位时延tc为

则有

包络时延曲线见图3-10。

图3-10　包络时延

包络时延实际上是以载波频率ωc为中心，调制频率上下边带相移连线的负斜率。必须注意到，该结论是以前面的假设条件为前提的。该假设条件的物理意义是，在信号带宽内用一条直线段代替实际的相频响应曲线。

如果相频响应由曲线趋于直线，则各频率点处的包络时延趋于相等。

如果调制频率趋于0，则包络时延等于载波频率ωc处的群时延。

4)时延曲线的拟合

求出时延-频率响应曲线后，一般用二阶多项式拟合，进而求出时延拟合参数。

图3-11　时延-频率响应

定义一个二阶多项式

利用这个二阶多项式对图3-11所示时延-频率曲线进行拟合，则有

解方程得出

定义

线性时延失真LDD为

抛物线时延失真PDD为

时延失真波动为