3.2.2　可实现滤波器

对于一个物理可实现滤波器，必须是一个因果系统，即系统的响应不应出现在激励之前。因此从时域的角度观察，系统的冲击响应必须在t＜0时为零。即

这一要求称为“因果条件”。

在频域，一个物理可实现系统的幅频响应必须是平方可积的，即

同时还要满足

此式称为佩利-维纳准则。如果系统的幅频响应在某一限定的带宽内为零，即|H(jω)|=0，则|ln|H(jω)||→∞，系统不是因果系统。

佩利-维纳准则规定了物理可实现系统的幅频响应在某一带宽内不能为零，同时也规定了其衰减速度不能太快。也就是说在截止频率ωc处，通带和阻带不能是垂直的，要有一个过渡带。但佩利-维纳准则只对物理可实现系统的幅频响应做出了规定，没有对相频响应提出约束条件，因此还要规定相频响应，与幅频响应一同构成一个物理可实现系统。下面通过希尔伯特变换来研究幅频响应与相频响应的约束关系。

因果系统的冲击响应h(t)在t＜0时必须为零，只有在t＞0时才有值，因此因果系统可写成如下形式：

该公式表明因果系统的冲击响应乘上一个阶跃信号后，仍等于其自身。

对式(3-12)取傅里叶变换，得

根据傅里叶频域卷积定理，得

设

有

解得

这两个公式称为希尔伯特变换对。

同时有

这说明，一个因果系统的幅频响应和相频响应有内在的约束关系。