1.7.4 §5.4 二次型及其标准型

,它是λ的n次多项式,因此称它为矩阵A的特征多项式.

显然,矩阵A的特征值就是特征方程A-λE=0的解,由于方程的左边是n次多项式,所以在复数范围内,特征方程的解一定有n个根(重根按重数计算,虚根成对出现).也就是说,n阶方阵A在复数范围内一定有n个特征值.

假设λ1,λ2,…,λn是A的n个特征值,则下列结论成立:

(1)λ1+λ2+…+λn=a11+a22+…+ann

(2)λ1·λ2·…·λn=|A|.

证 (1)因为λ1,λ2,…,λn是n阶方阵A的n个特征值,则|A-λE|=