6.4　习题解答

1.解：依题意，经过滤波后，竖着的条纹消失，镜面上只剩下横纹。因此，根据阿贝成像原理，应该在频谱面上放置一个滤波器，只让中央一列垂直方向的频谱分量通过，即要求该滤波器能遮掉中央一纵列以外的衍射斑即可。

2.解：如图6－10（a）所示，正交网格相当于两块黑白光栅的正交密接，屏函数是两者相乘

其中

式中G1、G2是宽度分别为a1、a2的方垒函数。在傅里叶频谱面上，其中

强度为

衍射图样如图6－10（b）所示，是正交的二维点阵，衍射斑在x′和y′方向的间隔分别与d1和d2成反比。

3.解：单色平面波在xy平面上的复振幅分布的空间频率为

因此，xy平面上的复振幅分布为

4.解：两列波波矢量的方向余弦分别为

因此两列波在xy平面上的复振幅分布为

在xy平面上的合复振幅为

可见，合复振幅在x方向变换的空间周期为dx＝2×5×10－4 mm＝10－3 mm。于是，合复振幅分布的空间频率u＝1／dx＝103 mm－1。

5.解：设两波的波长为λ，则两列波在xOy平面上的复振幅分布可以表示为

因此，两列波在xOy平面上发生干涉的强度为

这一强度分布具有空间周期性，在x方向和y方向的空间周期（也是在两个方向上的条纹间距，如图6－16所示）分别为

因此，在x、y两个方向上的空间频率为

图6－16 习题5示意图

6.解：设单色平面波的振幅为1，则光栅面上的复振幅分布为

光栅的夫琅禾费衍射图样的光强分布可由x（）1的傅里叶变换求出

或写成

利用傅里叶变换的卷积定理，有

卷积服从分配律，所以

由δ函数的卷积性质

得到

以衍射场的坐标x表示

上式的平方就是衍射场的光强分布。如果光栅宽度L比光栅周期1／u0大得多，则上式中的3个辛格函数之间的重叠可以忽略，于是

当L→∞时，辛格函数化为δ函数，3个衍射条纹的宽度趋于零。

7.解：狭缝宽度极小，狭缝的透射系数可用δ函数表示。设两狭缝沿y1方向，位置分布为x1＝±，则平面波透过两狭缝后的复振幅分布（加上平面波的振幅为1）为

两狭缝的夫琅禾费衍射的光强分布可由x（）1的傅里叶变换求出

利用傅里叶变换的相移定理，上式可写为

以衍射场的坐标表示

其平方则为光强分布

显然，这就是杨氏干涉的光强分布。

8.解：透镜后焦面的复振幅分布就是小圆屏平面复振幅分布的傅里叶变换。小圆屏平面的复振幅分布为因此透镜后焦面上的复振幅分布为

强度分布（弃去方括号前常量）

可见，除r＝0点外，后焦面上的强度分布与半径为a的小圆孔的夫琅禾费衍射的强度分布相同。

9.解：两列波波矢量的方向余弦分别为

因此，两列波在xy平面上的复振幅分别为

①xy平面上的合复振幅为

因此，沿x方向的空间频率为沿y方向的空间频率为v＝0。

②xy平面上的强度分布为

可见，此强度分布沿y方向的空间频率为零，而沿x方向的空间频率为u＝870mm－1。

10.解：设平面波的振幅大小为A，则沿r方向的相位分布为

其复振幅为

沿x、y、z轴方向的相位分布分别为

空间频率分布为

11.解：对于正入射的平面波（常数），故

从相因子看，这是会聚到透镜后距离为F处的球面波，以上正是几何光学所预期的。

12.解：如图6－17所示，设想在透镜前距离为s处有一发光物点O，它发出的球面波在透镜上造成的波前为

故从透镜输出的波前为

从相因子看，这是会聚的球面波，会聚中心（像点）O′在透镜后，距离为

这正是几何光学给出的透镜物像距公式。

图6－17 习题12示意图

13.解：正入射时＝A1，合成透过率是和相乘，故

在上式的推导过程中用了三角函数的积化和差公式。上式5项中除第一项是常数以外，其余4项分别与不同频率的正弦光栅相当，它们共产生9列平面衍射波，其方向角分别为

14.解：此时透过率函数应写为

正入射时故

除第一项外，其余的每项相当于一块特定频率的正弦光栅，产生一对平面波，后场共有9列平面衍射波，它们的方向角分别为

15.解：由于衍射系统是相干光学系统，复振幅满足线性迭加关系，所以这张图片可以看作是两张独立的正弦光栅之和，它们各自有3列平面衍射波，因0级是重合在一起的，故后场总共有5列平面衍射波，方向角分别为

16.解：设光栅常数为d，宽为a，则

得傅里叶系数为

17.解：当平行光正入射时

由相因子可以得知，n级平面衍射波的方向角为

sinθn＝nfλ＝nλ／d

这就是光栅公式。n级主极强的振幅正比于，光强正比于可以写成

这里αn＝πasin（θn／λ），上式正是我们熟悉的单缝衍射因子，由于在上面的计算中未考虑光栅的有限尺寸D，故我们得到的是严格的离散谱。若计及有限尺寸，每个频斑的振幅正比于D，但有一半角宽度Δθ＝λ／（Dcosθ），当D≫d时，Δθ远小于相邻频斑的间隔，这时衍射谱仍可近似地看作是分立的，或者说它是准离散谱。

18.解：相邻衍射斑的角间隔为Δθ≈λ／d，线距离为Δl≈ΔθF，所以焦距为

6级衍射斑的衍射角为

由于物平面在前焦面附近，要使6倍频信息进入透镜，其直径D应满足

19.解：平行光沿光轴入射，入射波在透镜主平面处的复振幅为＝Aeiφ1，利用屏函数，可得到透射波的复振幅为

这是会聚到透镜后F处的球面波，可见F为透镜焦距，相位的常数部分不起作用，所以可以略去不写。

20.解：设入射波的光源在透镜前的s处，则透镜主平面的入射场为

则衍射波为

即为会聚到处的球面波，会聚点到透镜主平面的距离为

物点和会聚点的关系也可以表示为

这就是透镜成像的高斯公式，当s＝F时，球面波经过透镜后变为平面波。

21.解：设发光的物点位于（－x0，－y0，－s）处，则在透镜的主平面处，入射场为

则衍射波为

可以判断出，经透镜后，光波是向轴外会聚的球面波，会聚点为

即像距为横向放大率为

22.解：设相干成像系统的出射光瞳为边长为l的正方形，则光瞳函数为

于是得到相干传递函数

即

把Hc取值开始为零时对应的频率称为截止频率。方形光瞳在fx和fy方向上的截止频率均为fx0＝fy0＝l／（2λdi），其通频带如图6－18（a）所示。显然，如图6－18（b）所示θ＝45°方向上，其截止频率最大，是fx或fy方向的倍，即

图6－18 习题22示意图

23.解：当光学成像系统的出射光瞳为直径等于l的圆孔时，其光瞳函数为圆域函数

则相干传递函数为

即

此时，截止频率fx0＝l／（2λdi），如图6－19所示。

图6－19 习题23示意图

为了对截止频率fx0的大小有一数量级的概念，设光学系统圆形光瞳的直径为20mm，像距为d，为100nm，照明波长为632.8nm，则可求得fx0为168l mm－1。