6.2　典型例题

【例题1】 如图6－2所示，试用傅里叶变换方法，求出单色平面波以入射角i入射到光栅上时，光栅的夫琅禾费衍射图样的强度分布。

图6－2 例题1示意图

解：以角度i斜入射的单色平面波在光栅面（xy平面）上的复振幅为

通过光栅后变为

其中，a、d分别为缝宽和光栅常数。因此，傅里叶变换式为

根据卷积的性质，并考虑上式变为

故夫琅禾费衍射图样的强度分布为

可见，与正入射的情况相比，差别只在于把正入射结果的“sinθ”换成“sinθ－sini”，这表示衍射图样整个发生了平移。

【例题2】 如图6－3所示，一个衍射屏具有圆对称的振幅透射函数t（r）＝①试说明这一衍射屏有类似透镜的性质。②给出此屏焦距的表达式。

图6－3 例题2示意图

解：①设以单位振幅的单色平面波垂直照明该衍射屏，则透过衍射屏后的复振幅为

或用直角坐标系表示为

其中，第二个因子表示该屏是半径为a的圆孔；第一个因子的第一项的作用是使透射光的振幅衰减，而第二项和第三项均为指数项，与透镜位相变换因子e－i2kf（x2＋y2）进行比较，形式相同，当用平面波垂直照射时，这两项的作用是分别产生会聚球面波和发散球面波。因此在成像性质和傅里叶变换性质上该衍射屏都有类似透镜的性质。

②将衍射屏振幅透射函数中的指数项与透镜位相变换因子进行比较，就得到等效的焦距。对则有

因为a＞0，故f1＜0，其作用相当于一个发散的透镜。

同样，对则

其作用相当于一个会聚的透镜。

最后讨论透射函数中的非指数项1／2，由于仅对透过的光波的振幅起衰减作用，因此把该项等效地看作f3＝∞。

【例题3】 假定透过一个衍射物体的光场分布的最低空间频率是20nm－1，最高空间频率是200nm－1。采用单个透镜作为空间频率分析系统，要使最高频和最低频的一级分量在频谱平面上相距90nm，问透镜的焦距需要多大？设工作波长为500nm。

解：如图6－4所示，最高空间频率和最低空间频率的一级频谱分别为因此

图6－4 例题3示意图

【例题4】 如图6－5所示，一个非相干成像系统的光瞳包含两个边长为1cm的正方形开孔，两个开孔中心的距离为3cm。试求这一光瞳的光学传递函数。若入射光的波长为500nm，光瞳面与像面的距离为10cm，在u方向和v方向的截止频率是多少？

解：题所给的光瞳的光瞳函数为

P（ξ，η）＝rect（ξ）rect（η－η0）＋rect（ξ）rect（η＋η0）

由傅里叶变换的自相关定理得，光瞳函数的自相关函数的傅里叶变换为

图6－5　非相干成像系统的光瞳

因此

光学传递函数为

可见，系统包含3个通频区，如图6－6所示。因此，ξ方向的截止频率为

由得η方向的截止频率为

图6－6 系统的3个通频区

【例题5】 如图6－7所示，利用阿贝成像原理证明，当物体受相干光倾斜照明时，显微镜的最小分辨距离可以达到（提示：显微镜能够分辨周期为d的物体结构，至少其衍射的0级和1级谱进入显微镜物镜。）

图6－7 例题5示意图

证明：①先考虑垂直照射的情况。根据阿贝成像原理，周期为d的光栅在单色平面波的垂直照射下，在系统焦平面上得到0、±1（±u）、±2（±2u＝±）、…级谱。如果系统允许

00 0级和1级谱进入显微镜物镜，则可以形成周期为d的结构像，又因为系统的截止频率为（其中，D和f分别为物镜的孔径和焦距），u＝，所以0

即显微镜能够分辨的最小周期为

从图得物镜孔径角满足关系

考虑物方空间的折射率为n，有

把式（2）和式（3）代入式（1）得

②下面考虑相干光倾斜照射的情况。相干光以θ角倾斜照射，使频谱沿u轴平移了若显微镜能够分辨周期为d的物体结构，至少允许其衍射的0级和1级谱进入显微镜物镜，因此

所以

显然，最大倾斜角为

当以最大倾斜角入射时，由式（5）和式（6）得

因此

把式（2）和式（3）代入得

因此，以最大倾斜角入射时，显微镜能够分辨光栅的周期d的最小值可以达到

【例题6】 衍射受限非相干成像系统的光瞳为边长为l的正方形，求其光学传递函数。

解：此时的光瞳函数可表示为

显然光瞳的总面积S0＝l2，当P （x，y）在x、y方向分别位移－λdifx、－λdify以后，得P （x＋λdifx，y＋λdify），从图6－8（a）中可以求出P （x，y）和P （x＋λdifx，y＋λdify）的重叠面积S （fx，fy）。由图可得

光学传递函数为

式中，ρc＝1／（2λdi）是同一系统采用相干照明的截止频率。非相干系统沿fx和fy轴方向上的截止频率是2ρc＝1／（λdi），如图6－8（b）所示。

图6－8 例题6示意图