5.2　典型例题

【例题1】 钠黄光包括λ＝5 589.00nm和λ′＝5 589.59 nm两条谱线。使用15cm、每毫米内有1 200条缝的光栅，一级光谱中两条谱线的位置、间隔和半角宽度各是多少？

解：光栅的缝间距离（光栅常数）为

根据光栅公式，一级谱线的衍射角为

光栅角色散的本领为

所以波长差δλ＝0.59nm的钠双线的角间隔为

又因为光栅的总宽度Nd＝15cm，所以双线中每条谱线的半角宽度为

【例题2】 试设计一透射光栅，要求：①使波长λ＝600nm的第二级谱线的衍射角θ≤30°，在此前提下角色散率要尽可能大；②第三级光谱缺级；③该波长的二级谱线附近至少能分辨0.02nm的波长差。满足上述要求的光栅的参数设定后，试问能看到几级波长为600nm的谱线。

分析：由光栅方程和角色散率公式选择光栅常数d，以满足要求。首先，由缺级条件选择适当的缝宽a。其次，由对分辨本领的要求选择光栅的总缝数N。最后，由d、λ以及衍射角θ≤90°的条件定出能看到光谱的最大级次。

解：由光栅方程可知，光栅常量d应满足

角色散率公式为

为使D尽可能大，d应尽可能小，为了同时满足以上两个要求，可取

要求第三级光谱（干涉极大）与第一级衍射极小重合，即要求

故缝宽应取

由光栅的色分辨本领公式

故总缝数应为

能看到的最大级次k由条件θ＝±90°决定，为

第四级光谱在θ＝±90°方位实际上看不到，第三级缺级，零级无色散，故对波长为600nm的谱线，只能看到±1级和±2级谱线。

【例题3】 用每毫米内有500条缝的光栅观察钠光谱线。

①光线以i＝30°角斜入射光栅时，谱线的最高级次是多少？并与垂直入射进行比较。

②若在第3级谱线处恰能分辨出钠双线，光栅必须有多少条缝？（钠黄光的波长一般取589.3nm，它实际上由589.0nm和589.6nm两个波长的光组成，称为钠双线。）

解：①斜入射时，相邻两缝的入射光束在入射前有光程差AB，在衍射后有光程差CD，如图5－5所示。

图5－5 斜入射时光程差计算用图

由图5－5可知，总光程差为CD－AB＝d （sinθ－sini），因此斜入射的光栅方程为

d （sinθ－sini）＝±kλ，k＝0，1，2，…

谱线级次为

此式表明，斜入射时，零级谱线不在屏中心，而移到θ＝i的角位置处。可能的最高级次相应于，将代入上式得

级次取较小的整数，得最高级次为5。

垂直入射时，i＝0，最高级次相应于θ＝，于是有

最高级次应为3。可见斜入射比垂直入射可以观察到更高级次的谱线。

②利用式

可得

将λ1＝589.0nm，λ2＝589.6nm和k＝3代入，可得

这个要求并不高。

【例题4】 如图5－6所示，一闪耀光栅宽200mm，每毫米有500个刻槽，闪耀角θB＝43°26′，平行光垂直于槽面入射，试求：

①对波长λ＝550nm的光的闪耀级次和色分辨本领；

②在闪耀方向的角色散率；

③入射光垂直光栅平面，则三级光谱中强度最大的波长为多少？

图5－6 例题4示意图

分析：闪耀光栅是反射光栅，它利用刻槽的特殊形状使衍射光的能量较多地集中在某一级光谱上。一般光栅的零级主极大（中央亮纹）最强，两侧对称分布的各级主极大的强度要弱得多。如图5－6所示的闪耀光栅的各级主极大位置仍由光栅方程dsinθ＝kλ确定，但单缝衍射的中央极大将不与多缝干涉的零级主极大重合，而移到由槽面方位决定的反射方向上。在这个方向上增强的光谱波长称为“闪耀波长”。

解：①如图5－6所示，入射光以及衍射光与光栅平面法线之间的夹角分别为θB和θ。多缝干涉主极大的位置满足

d （sinθB＋sinθ）＝kλ

闪耀方向与槽面垂直，并与入射光方向相反，即在θ＝θB的方向。故在闪耀方向上光栅方程为

2dsinθB＝kλ

因此，波长λ＝500nm的光在闪耀方向上的级次为

光栅总缝数为

N＝500×200＝105

故色分辨本领为

R＝kN＝5×105

②角色散率为

③光垂直光栅平面入射，三级干涉主极大位置满足

dsinθ＝3λ

在闪耀方向θ＝2θB上，谱线有最大强度，其波长为

【例题5】 白光垂直照射在一光栅上，能在30°衍射角方向观察到600nm的第二级主极大干涉，并能在该处分辨600nm附近波长差0.5nm的两条谱线，可是在30°的衍射角方向上，却难以测到400nm的主最大干涉。试问：

①光栅相邻两缝的间距有多大？

②光栅的总宽度是多少？

③光栅的每一条透光狭缝有多宽？

④若用此光栅观察钠光谱（590.0nm），求当光线垂直入射时，屏上呈现的干涉条纹总数是多少？

解：①设周期为d，缝宽为a。由光栅方程dsinθ＝jλ得到

这就是两缝之间的间距。

②由光栅分辨本领

已知λ＝600nm，可分辨的最小波长间隔Δλ＝0.05nm，j＝2，于是光栅刻线数

光栅总宽度

L＝Nd＝14.4mm

③能观测到600nm的第二级主级，却观察不到400nm的主最大干涉，说明400nm的主极大在这里出现了缺级。缺级时，缝间干涉的主极大dsinθ＝jλ与单缝衍射的极小asinθ＝mλ重合，即满足条件a＝800nm＝0.8μm。

④由光栅方程dsinθ＝jλ可得，当θ＝时，j＝4，由于j＝3缺级，观察钠光谱（590.0nm）屏上呈现的干涉条纹总数为7。

【例题6】 一闪耀光栅每1mm有1 200个刻槽，闪耀角为20°，平行光垂直于光栅平面入射，求：

①一级闪耀波长；

②能观察到闪耀波长的几级光谱？

图5－7 闪耀光栅的入射方式

解：①闪耀光栅的入射方式如图5－7所示，光栅常数为

对于光栅的光谱，即缝间干涉的强度极大值方向，仍然可以由光栅方程得到，即dsinθ＝jλ。

闪耀方向是指每个闪耀面（即反射面）的反射方向，对于本题的入射方式，闪耀方向与光栅之间的夹角为2θB，θB＝20°为闪耀角。衍射的主极大方向即为槽面的反射方向，与光栅平面的法线有2θB夹角。其一级闪耀波长为λ1B＝dsin（2θB）＝535.7nm。

②可以近似地认为槽面的宽度为a＝dcosθB＝7.831×10－4 mm，则衍射中央主极大的半角宽度为

处于衍射主极大之内的光谱，其角度应满足

由此可以得到对应的最小级数为

说明只有一级可见。