4.3　习　题

1.一反射式天文望远镜的通光孔径为2.5m，求可以分辨的双星的最小夹角。与人眼相比，分辨本领提高了多少倍？人眼瞳孔的直径约为2mm。

2.双星之间的角距离为1×10－6 rad，辐射波长为577.0nm和579.0nm，要分辨此双星，望远镜的孔径至少多大？

3.设菲涅耳双面镜的夹角ε＝10－3 rad，有一单色狭缝光源S与两镜相交处C的距离r为0.5m，单色波的波长λ＝5×10－7 m。在距两镜相交处L＝1.5m的屏幕Σ上出现明暗干涉条纹，如图4－13所示。①求屏幕Σ上两相邻明条纹之间的距离；②问在屏幕Σ上最多可以看到多少明条纹？

图4－13 习题3示意图

4.有一光栅，光栅常数为4μm，总宽度为10cm，波长为500.0nm和500.01nm的平面波正入射，光栅工作在二级光谱，问这双线分开多大角度？能否分辨？

5.波长为632.8nm的激光垂直入射在一半径为1.25mm的衍射屏上，为了观察夫琅禾费（Fraunhofer）衍射，观察屏大约要放多远？

6.在菲涅耳（Fresnel）圆孔衍射实验中，保持其他条件不变，而使圆孔的半径连续增大，大致画出观察点P处光强随圆孔半径变化的曲线。

7.当缝宽分别是1λ、5λ、10λ时，单缝Fraunhofer衍射的半强角宽度是多大？（半强角宽度是光强等于中央衍射主极大光强一半的衍射角宽度。）

8.若将一个Fresnel波带片的前5个偶数半波带挡住，其余全开放，衍射场中心的强度与自由传播时相比扩大了多少倍？

9.一硬币的半径为1.2cm，据波长为500nm的点光源10cm，求在两者的中心连线上，硬币后10cm处的光强表示式中k的数值。

10.如图4－14所示，用波长为632.8nm的平行光垂直照射宽度为0.2mm的单狭缝，缝后有一焦距为60cm的透镜，光屏在此透镜的焦平面上，求衍射图样中心到第二条暗纹的距离。

图4－14 狭缝衍射示意图

11.波长为500.0nm的单色光垂直入射到直径为4mm的圆孔上，确定轴线上光强极大值和极小值点的位置。

12.波长为500.0nm的单色光垂直入射到直径为4mm的圆孔上，接收屏在圆孔后1.5m处，问孔的轴线与屏的焦点处是亮点还是暗点？如果要使该点的光强发生相反的变化，孔的直径要改变多少？

13.500.0nm的光正入射到如图4－15所示的衍射屏上，r1＝mm，r2＝1mm，轴上观察点距衍射屏2m，计算该点的振幅和强度。

图4－15 习题13示意图

14.波带片第5环的半径为1.5mm，对于500.0nm的光，其焦距和第一环的半径是多少？若在波带片和屏幕间充以折射率为n的介质，将发生什么变化？

15.平行光正入射到单圆孔衍射屏上，在轴上距离孔L处记录光强变化，发现光强随孔径的增加呈震荡型变化。①求第一极大时圆孔的半径ra；②求第一极小时圆孔的半径rb；③上述两半径趋于无限大时，两者光强的比值；④如果用半径为ra的不透光圆屏代替衍射屏，此时的强度如何？

16.①平行单色光以θ角入射到有一单缝的衍射屏上，屏后有一透镜，设透镜无限大，求后焦面上的光强分布。②如果将上述狭缝换为长板条，强度又如何？

17.波长为480nm的平行单色光垂直入射到缝宽为0.4mm的单缝衍射屏上，缝后透镜焦距为60cm，计算当屏上一点到缝两端的位相差分别为和时，该点到焦点的距离分别是多少？

18.平行白光正入射到0.320mm宽的狭缝上，缝后1m远处有一小的分光镜的入射缝正对该狭缝，对图样进行分光研究。如果狭缝沿着垂直方向移动1.250cm，则分光镜中所见如何？

19.阿波罗11号登月后，在月球上将100块阿波罗小棱镜排成方阵，用来精确测量月地之间距离的变化。不采用整块大棱镜的原因有二：一是月球温差大，大棱镜易变形；二是月地间有相对运动，返回光束将偏离原发射地。为此将每一个小棱镜置于一个保护圆筒中，利用衍射使返回的光束在地面上有一展布直径罩住发射地。若该直径需要17.17km，红宝石激光器发出的光的波长为694.3nm，月地间的距离为3.86×105 km，请设计保护圆筒的直径。

20.3个狭缝衍射屏，缝宽均为a，彼此间的距离为d，中间缝盖有可以引起180°位相改变的滤光片，波长为λ的单色光正入射，计算下列各种情况下的角度。①第一衍射极小；②第一干涉极小；③第一干涉极大。

21.①用275.0nm的紫外光比用500.0nm的可见光，显微镜的分辨本领可以增大多少倍？②显微镜的物镜在空气中的数值孔径为0.9，若用紫外光，可以分辨的两条线的最小间距是多少？③用油浸系统时，可分辨的最小间距是多少？油的折射率为1.6。④照相底片上感光微粒的大小约为0.5mm，问当油浸系统的紫外光显微镜的横向放大率是多少时，底片上恰能分辨？

22.一反射式天文望远镜的通光孔径为2.5m，求可以分辨的双星的最小夹角。与人眼相比，分辨本领提高了多少倍？人眼瞳孔的直径约为2mm。

23.一束激光（波长为630nm）掠入射于一钢尺上（最小刻度为1／16英寸，1英寸＝2.54cm），反射的光投射到10m以外的竖立墙壁上。①推导墙上干涉极大处的角度θ。为简单起见，设入射激光束平行于钢尺表面。②墙上零级和一级干涉图样的垂直分布如何？

24.双星之间的角距离为1×10－6 rad，辐射波长为577.0nm和579.0nm。①要分辨此双星，望远镜的孔径至少多大？②要分辨这两波长，光栅的刻线数应为多少条？解释原因。

25.已知光栅的缝宽为1.5×10－4 cm，波长为600nm的单色光垂直入射，发现第4级缺级，透镜焦距为1m，试求：①屏幕上第2级亮条纹与第3级亮条纹的距离；②屏幕上所呈现的全部亮条纹数。

26.为了能分辨第二级钠光谱的双线，长度为10cm的平面光栅的常数是多少？

27.平行光正入射到宽度为6cm的平面透射光栅上，在30°衍射角方向上的恰可分辨的两谱线的频率差Δν是多少？

28.有一光栅，光栅常数为4μm，总宽度为10cm，波长为500.0nm和500.01nm的平面波正入射，光栅工作在二级光谱，问这双线分开多大角度？能否分辨？

29.一光栅宽5cm，每毫米有400条刻线。波长为500nm的平行光正入射时，光栅的第4级衍射光谱在单缝衍射的第一极小值位置。试求：①每缝的宽度；②第二级衍射谱的半角宽度；③第二级可分辨的最小波长差；④如果入射光的入射方向与光栅平面的法线成30°角，光栅能分辨的最小波长差又是多少？

30.一块透明片的振幅透过率为t（x）＝e－πx2（高斯分布函数），将其置于透镜的前焦面上，并用单位振幅的单色光垂直照明，求透镜后焦面上的振幅分布。

31.利用傅里叶变换方法，求包含N个狭缝的衍射光栅的夫琅禾费衍射的强度分布公式。设狭缝的宽度为a，光栅常数为d，光栅由单位振幅的单色光垂直照明。

32.一个望远物镜的直径为40mm，焦距为300mm，试问（设λ＝550nm）：①使用此望远镜可分辨的两个遥远点状物之间的最小角距离应为多大？②在望远镜焦平面上两衍射图样的中心距离是多少？

33.请确定图4－16所示的3个缝受到一束单色平面波垂直照明时的Fraunhofer衍射光强分布。

图4－16 习题34示意图

34.在双缝的夫琅禾费图样中，欲使单缝衍射的中央极大内含有3个亮条纹：①需要满足什么条件？②如果双缝的间距是3mm，缝宽应该取多大？③若光的波长为630nm，中央亮条纹的半角宽度有多大？

35.波长为500nm的单色点光源离光阑1m，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和1mm的透光圆环，接收点P离光阑1m，求P点的光强I与没有光阑时的光强度I0之比。

36.波长为632.8nm的平行光射向直径为2.76mm的圆孔，与孔相距1m处放一屏。试问：①屏上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？②要使P点变成与①相反的情况，至少要把屏幕分别向前或向后移动多少？

37.一束平行白光垂直入射在每毫米50条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二级光谱的始端的衍射角之差θ为多少？（设可见光中最短的紫光的波长为400nm，最长的红光波长为760nm。）

38.单色平面波垂直入射不透明屏Σ上的单缝，单缝后置一透镜，在透镜后焦面上观察衍射图样。讨论在下列情况下，衍射图样的变化。

①单缝在Σ面内垂直于单缝方向平移。

②单缝在Σ面内沿单缝方向平移。

③单缝在Σ面内旋转。

④单缝沿透镜轴线移动。

⑤单缝宽度变大和变小。

39.人眼的瞳孔直径为2mm，光的波长为550nm，要用望远镜观察角间隔为3×10－7 rad的两颗星，求望远镜的：①物镜直径；②角放大率。

40.在双缝的夫琅禾费衍射实验中，波长为632.8nm，投射焦距为50cm。测出条纹间隔为1.5mm，且第四级缺级。求：①双缝的间隔和缝宽；②第1、2、3亮纹的相对强度。