4.2　典型例题

【例题1】 单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带，求第K个带的半径。若极点到观察点的距离r0为1m，单色光的波长为450nm，求此时第一半波带的半径。

解：

而

将上式两边进行平方，得

略去k2λ2项，则将k＝1，r0＝100cm，λ＝4 500×10－8 cm代入上式，得

ρ＝0.067cm

【例题2】 平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机光圈那样改变大小。问：①小孔半径满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小空孔中心4m的P点的光强分别得到极大值和极小值？②P点最亮时，小孔直径应为多大？设此时的波长为500nm。

解：①根据上题结论将r0＝400cm，λ＝5×10－5 cm代入，得

当k为奇数时，P点为极大值；当k为偶数时，P点为极小值。

②P点最亮时，小孔的直径为

【例题3】 用波长为624nm的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽b为0.012mm，不透明部分的宽度a为0.029mm，缝数N为103条。求：①单缝衍射图样的中央角宽度；②单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？③谱线的半宽度为多少？

解：①单缝衍射图样的中央角宽度

②单缝衍射图样包络下的范围内共有光谱级数由下式确定

式中d为光栅常数，所以看到的级数为3。

③谱线的半角宽度公式为令cosθ≈1（即θ≈0），故

【例题4】 波长为0.001 47nm的平行X射线射在晶体界面上，晶体原子层的间距为0.28nm，问光线与界面成什么角度时，能观察到二级光谱？

解：因为2dsinα0＝jλ，所以

光线与界面成18′的角度时，能观察到二级光谱。

【例题5】 用坐标纸绘制N＝2，d＝3a的夫琅禾费衍射强度分布曲线，横坐标取sinθ，至少画到第7级主级强，并计算第一个主级强与单缝主级强之比。

解：作强度分布曲线如图4－11所示。作图时注意到N＝2，故相邻主级强之间不出现次级强；又因d＝3a，故缺级在k＝±3，±6，…级。

多缝衍射某级主级强与单缝0级（主级强）强度之比为

式中

当k＝1，a／d＝1／3，N＝2时，得

于是I（θ1）／I0＝4×0.684≈2.74。

图4－11 夫琅禾费衍射强度分布曲线

【例题6】 导出正入射时不等宽双缝的夫琅禾费衍射强度分布式，缝宽分别为a和2a，缝距为d＝3a，见图4－12（a）。

图4－12 不等宽双缝示意图及矢量分布图

解：把缝宽为2a的单缝看成缝宽为a，且间距也为a的双缝。这样本题的不等宽双缝即化为等宽不等距的三缝，缝宽均为a，缝距分别为2.5a和a。用图4－12（a）所示的矢量图即可求得合振幅Aθ，图中δ＝2πasinθ／λ，Aθ的x、y分量分别为

所以衍射强度的分布为

式中I0为单缝的零级主级强，α＝πsinθ／λ。

【例题7】 波长为λ＝5.633×10－7 m的单色光从远处的光源发出，经过一个直径D＝2.6mm的圆孔，在距孔1m处放一屏幕，问：①幕上正对孔中心的点P是亮的还是暗的？②要使P点的明暗变成与①相反的情况，至少要将屏幕移动多少距离？

解：Fresnel圆孔衍射。

①由可知，P为亮点。

②使j＝2或j＝4。根据上式可计算前移0.25m或后移0.5m。

【例题8】 对于波长为500nm的光，波带片的第8个半波带的直径为5mm，求此波带片的焦距，以及距离焦点最近的两个次焦点到波带片的距离。

解：波带片公式为故

相邻的次焦点