2.2　典型例题

【例题1】 图2－9（a）所示为一对传播方向平行于xOz面，与z轴分别成倾角θ和－θ的一对共轭平面波；图2－9（b）所示为一对轴上物点的共轭球面波，发散中心为O（0，0，－R），会聚中心是O＊（0，0，R）；图2－9（c）是一轴外物点的共轭球面波，发散中心为O1（x1，y1，－R），会聚中心是（x1，y1，R）。上述每列波在－θ面上波前等相位点的轨迹都是什么曲线？描绘一下它们的主要特征，如取向、间隔等。

图2－9 3种波在－θ面上波前等相位点的轨迹

解：①在图2－9（a）中，倾角为θ的斜入射平面波在z＝0面上波前的相位分布函数为φ（x，y）＝kxsinθ，令φ（x，y）为常数，得波前上等相位点的轨迹x也是常数，即等相位点的轨迹是平行于y轴的直线。当两等相位线的相位差为Δφ时，得其间隔为Δx＝Δφ／（ksinθ），这说明等相位线的密度是均匀的。

同理分析可知，共轭平面波当倾角为－θ时，在z＝0面上波前等相位线的特征相同。

②在图2－9（b）中，发散球面波在z＝0面上波前的相位分布函数是

其中r2＝x2＋y2，等相位线的方程是

这说明等相位线是以坐标原点O为中心的一系列同心圆。对式（1）取微分得

上式说明，等相位线是中间稀疏外围密集的，即随着半径增大而变密。

同理可得，会聚的共轭球面波在z＝0面上波前等相位线的特征与此相同。

③在图2－9（c）中，发散球面波波前上的相位分布函数为

等相位线方程

对式（2）取微分得

可见，等相位线是以（x1，y1）点为圆心的一系列同心圆，其分布也是中间稀疏外侧密集，随着半径的增大而变密。

同理可得，汇集的共轭球面波在z＝0面上波前等相位线的特征与此相同。

【例题2】 有8列球面波，其中4列是入射波，如图2－10（a）所示，4列是出射波，如图2－10（b）所示。它们在波前z＝0平面上各有共同的光瞳（即窗口），能流数值相同，波束中心O1、O2、O3、O4点分别与z＝0和x＝0面成镜像对称。问：①哪几列波在z＝0面上的复振幅分布相同？②哪几列波在x＝0面的复振幅互为共轭？③设O1点的坐标为（x1，y1，－R），其他波束中心O2、O3、O4点的坐标如何？具体写出图2－10（a）、图2－10（b）中1、2两列波在z＝0面上的复振幅分布函数。

图2－10 球面波的入射与出射示意图

解：①波束中心相同的两列入射波和出射波在z＝0面上的复振幅分布均相同。

②波束中心与z＝0面成镜像对称的两列波均为共轭波，即复振幅分布互为共轭。

③设O1点的坐标为（x1，y1，－R），则其他波束中心的坐标分别是O2（－x1，y1，－R）、O3（－x1，y1，R）、O4（x1，y1，R）。

如图2－10（a）所示，波束中心分别是O1、O2两点，其1、2两列波在z＝0面上的波前相应为

在图2－10（b）中，波束中心为O1和O2点的两列波在z＝0面上的波前分别和图2－10（a）中的两列波相同。

【例题3】 球面电磁波的电场E是r和t的函数，其中r是一定点到波源的距离。求：①写出与球面波相应的波动方程的形式；②求出波动方程的解。

解：①在直角坐标系中的波动方程为

但对于球面波来说

由于

因此

并且

类似地有

所以

因此，与球面波相应的波动方程的形式是

②上式左边可以写为

于是可以得到

由于r对t是独立的，故上式右边可以写为

因此

上式与一维波动微分方程形式上完全类似，它的通解为

或者写成

若E随着t的变化是正弦式的，则E可以写成

【例题4】 如图2－11所示，试证明自然光进过偏振片后的强度为总强度的一半。

证明：自然光是大量的有各种取向的彼此无关的线偏振光的集合，且角分布具有轴对称性，如图2－11所示。在此，可以引出“线偏振数密度”来描述大量线偏振集合的角分布。设在角范围θ～θ＋Δθ之内，包含线偏振的数目为ΔN，则ΔN＝ρ（θ）Δθ，式中的ρ（θ）为线偏振密度，即为单位角度内所包含的线偏振数。显然，对于具有轴对称性的自然光来说，ρ（θ）与θ无关，保持为一个常数。由于自然光中的各线偏振光之间无固定相位关联，因此总强度I0等于各线偏振光强度i的直接相加，即为

透过偏振光p的光强应该按照马吕斯定律先投影再求和，即在α～α＋Δα范围内线偏振光透过p的光强为

透过p的光强为

由此可见，若用线偏振数密度ρ和个别线偏振光强度i两个量来表示自然光总强度I0和任意方向的强度I（θ），分别是

显然有

图2－11 自然光进入偏振片光强示意图

【例题5】 计算：①由空气到玻璃（n2＝1.560）的全偏振角；②由此玻璃到空气的全偏振角；③在全偏振时由空气到此玻璃的折射光的偏振度；④在全偏振时由此玻璃到空气的折射光的偏振度；⑤自然光从空气以布儒斯特角入射到平行平面玻璃板以后，最终透射光的偏振度。

解：①由空气到此玻璃的全偏振角为

②由此玻璃到空气的全偏振角为

由此可见，光束射到空气中的平行平面玻璃板上，当上表面反射发生全偏振时，则折射光在下表面的反射也将发生全偏振，每一界面反射的全部都是s分量。这正是波片堆起偏器的理论依据之一。

③首先根据计算折射光偏振度的一般公式，由空气射向玻璃时，折射光的p分量为极大强度，s分量为极小强度，所以折射光的偏振度为

此式中的n1是空气的折射率，n2是玻璃的折射率，自然光的p分量和s分量的强度相等，即I1p＝I1s，因此有

此式即为求折射光偏振度的公式，条件是自然光入射。因此，只要根据菲涅耳公式求出振幅透射率tp、ts，就可以得到折射光的偏振度。

当光线以布儒斯特角入射时，由菲涅耳公式就可得

当然，tp＝n1／n2的结果也可以根据能流守恒关系得到。当以布儒斯特角入射时，p分量全部透过，因此有

故得到tp＝n1／n2。

根据结果改写式（1），得到以布儒斯特角入射时折射光偏振度的计算公式

将n1＝1，n2＝1.560代入，得到P＝9.5%。

④从上面折射光偏振度的计算公式中可以看出，P对n1和n2是对称的，满足互易关系。因此当光线逆向从玻璃到空气以布儒斯特角入射时，折射光的偏振度不变，即为P′＝P＝9.5%。

⑤当入射光的p分量和s分量强度相等时，无论从空气到玻璃，还是从玻璃到空气，均有折射光的p分量强度极大，s分量强度极小。因此以自然光入射到平行平面玻璃板上时，最终透射光的偏振度公式仍为

但是式中的tp、ts应由单次透射率的乘积代替，即为

t1s分别是平行平板上下表面的振幅透射率。若是N块这样的平行平板叠放在一起（波片堆），那么有

当以布儒斯特角入射时，由前两问的讨论可知

此时透射光的偏振度简化为

设波片堆为N块，那么经历2 N次折射，最终透射光的偏振度为

结合本题，取参数n1＝1，n2＝1.560，N＝2，算出P1≈18.9%。同样可从公式中看出，N越大，则PN值越高。

【例题6】 如图2－12所示，一束右旋圆偏振光从空气正入射到玻璃板上，反射光的偏振态如何？

图2－12 右旋圆偏振光从空气正入射到玻璃板的入射光与反射光示意图

答：决定反射光偏振态的是反射光中的两个垂直分量（p分量和s分量）的振幅关系和相位关系。两者均可由菲涅耳公式确定。设空气的折射率为n1，玻璃的折射率为n2，正入射时，i1＝i2＝0，那么由菲涅耳公式得振幅反射率为

上式表明rp、rs的模和辐角分别是

由于入射光是圆偏振光，两垂直分量的振幅相等。由式（1）可知，反射光两正交分量的振幅仍相等，即为

又由式（1）、式（2）可知，反射界面上p分量和s分量的相位突变

由于入射圆偏振光是右旋的，则入射光p分量和s分量的相位差

因此反射光中的p分量和s分量的相位差是

由式（3）、式（4）即可确定反射光为左旋圆偏振光。与入射光相比，电矢量瞬时值要小得多。另外，这个结论从物理上的对称性分析可以得到，入射光为右旋圆偏振光，反射光必为左旋圆偏振光，条件是正入射且介质各向同性。

【例题7】 考虑一列线偏振的电磁波（其电矢量沿着y方向偏振，量值为5V／m）在真空中传播，以30°入射于x＝0的电介质表面，波的频率为6×1014 Hz，电介质的折射率为1.5，试写出入射波、反射波和透射波的电场、磁场的完整表达式。

解：入射波矢量为

因此有

式中

又有

则

可得

以及

则

可得R⊥＋T⊥＝1，且

以及

那么透射波和反射波的电场分别是

根据公式可以推出相应的磁场表达式

式中