1.2　典型例题

【例题1】 求证反射光束和折射光束的方向都是等光程方向，证明图1－13中：

L（A1B1C1）＝L（A2B2C2），L（A1B1D1）＝L（A2B2D2）

图1－13 反射光束和折射光束光程示意图

证明：①分别由入射点B2、B1向光线1、2′做垂线，相应垂足为。由图可知又根据反射定律得知是全等三角形，即为

所以光程与是相等的。

这表明，反射定律给出的反射光束的方向正好与等光程（从入射光算起）要求的方向是一致的。

②由次波源B1向光线做垂线，垂足为，此时有另外比较B1、B2两段光程，在直角△B2B1和直角△B1B2中有

又由折射定律得

于是

所以光程

与

是相等的。

这表明，折射定律给出的折射光束的方向正好与等光程（从入射光算起）要求的方向是一致的。

【例题2】 如图1－14所示，内半径为R的直立圆柱器皿内盛有水银，绕圆柱轴线均匀旋转（水银不溢，皿底不露），稳定后的液面为旋转抛物面。若取坐标原点在抛物面的最低点，纵坐标轴z与圆柱器皿的轴线重合，横坐标轴r与z轴垂直，则液面方程为

其中，ω是旋转角速度，g是重力加速度。观察者的眼镜位于抛物面最低点正上方某处，保持位置不变，然后使容器停转，等到液面静止后，发现与稳定旋转时相比，看到的眼睛的像大小、正倒都无变化。求人眼位置至稳定旋转水银面最低点的距离。

图1－14 转动和静止时的水银面

分析：本题有3个关键点：首先是大的抛物面的近轴部分近似于球面，可用球面反射的物像公式；其次确定两次观察时反射面之间的距离，即要计算出平面表面与抛物面表面顶尖之间的距离，也就是要计算抛物面下水银的体积；最后看到的像的大小都相同，不是指像的大小相同，而是像对眼睛的视角相同。

解：抛物面的焦点就是球面成像的焦点，由于抛物线方程为

可知其焦点为对于抛物面顶点的平面之上的水银体积，可以采用积分方法计算。取一半径为r的薄壁圆筒，筒壁的高为

圆筒的底面积为dS＝2πrdr，则此圆筒壁的体积为dV＝zdS＝2πzrdr。

上述水银的体积为

当抛物面成为平面时，圆柱的高为

这就是平面与抛物面顶点间的距离。

设眼睛到抛物面顶点的距离为s，眼睛的大小为y，则抛物面成像的像距为

而像的大小为

像对眼睛的张角为

眼睛到平面的距离为s2＝s－z0，经平面成像，像距为s′2＝－（s－z0），像的大小仍为y，则对眼睛的张角为

由题可知，φ1＝φ2，因此有

即为

带入数据得到

【例题3】 求光线经过棱镜折射的偏向角，讨论出现最小偏向角的条件，并求出最小偏向角。已知棱镜的顶角为α，折射率为n。

解：如图1－15所示，设光线从棱镜的左侧面入射，入射角、折射角分别为在棱镜右侧面，入射角、折射角分别为

光线的偏向角是指出射光线相对于入射光线偏转的角度，即图中的∠δ。

如图1－15所示，棱镜的两棱边与两条棱的法线构成一个四边形AEDF，其中

在△EDF内有

因此有

因此在△EFG中，偏向角

最小偏向角即是要求，然而

所以

而在棱镜的两侧面，折射角与入射角之间的关系式为因此可得

即为

而根据之前的结论，可得出，因此式（1）可表示为

即为

上式成立的条件是，对应的有如图1－15所示。此时有

此时可得最小的偏向角为

若测出最小偏向角δmin，由于此时

因此棱镜的折射率计算结果为

图1－15 光在三棱镜中的折射

【例题4】 光线在媒质中传播的路径是抛物线，试讨论媒质折射率分布的特征以及光线的入射方式。

解：若媒质的折射率沿着y方向渐变，则光线的方程为

设在直角坐标系中，抛物线方程为

则

于是可得

结合式（1）、式（2），有

即得出

①当a＞0时，此时是开口向上的抛物线，如图1－16（a）所示，式（3）可以表示成

光线从外界射入，入射方式不同，抛物线的形状也会不同。

②当a＜0时，此时是开口向上的抛物线，如图1－16（b）所示，式（3）可以表示成

光线从外界射入，入射方式不同，抛物线的形状也会不同。

图1－16 光线的径迹是抛物线

【例题5】 沿直线移动的点光源经f＝30cm的凸透镜成像，该点光源以与光轴成60°角穿过光轴时，像以30°角穿过光轴，计算这一瞬间光源到透镜的距离。

解：若物运动，像也会相应运动，应严格按照速度的定义解题，速度是在短时间内位移与时间的比值。下面用物像关系求解本题。

如图1－17所示，设穿过光轴的瞬间，物距、像距分别是s、s′，根据高斯公式可有

物距改变

即为

可以将式（1）作为薄物成像的纵向放大率，即为沿着光轴的方向。

由于物点的运动与光轴成某一角度，可将其速度分解为纵向和横向。假定物点运动的时间为Δt。

在纵向，像与物的速度分量的关系是

而在横向，两速度分量之间的比值就是横向放大率，即

根据题中所给的条件

利用式（2）和式（3），可以得出

即为

解得

因此当s＝40cm时，它是实像；而当s＝20cm时，它是虚像。

图1－17 运动的物像之间的位移关系

【例题6】 一平凸透镜（n＝1.5），焦距为50mm，凸面镀反射膜，一个高为5mm的物体位于透镜前150mm处，如图1－18所示。求经过该透镜所成像的位置、大小、正倒和虚实。

图1－18 物与平凸透镜位置关系示意图

解：此题可以采用逐次成像法求解，也可以采用组合透镜法求解。

方法一：

采用单折射球面逐次成像法计算，先求透镜球面的半径，以透镜中心为原点，取向右为正方向。根据可得r＝－25mm。

2

先计算光线经过第一面成像透射，有

可得

再计算光线经过第二面成像反射，有

计算得

然后再计算光线从透镜中折射出来的情况

计算得

对于整个系统来说

因此，像位于透镜前8.82mm处，大小为0.295mm，是一个倒立缩小的实像。

方法二：

采用组合透镜法，先把两透镜组合，再由球镜面成像来求解。

先求组合透镜焦距，套用公式

计算得

根据透镜的高斯成像关系

计算得

再根据球面镜反射成像，有

计算得

对整个系统而言

因此，像位于透镜前8.82mm处，大小为0.295mm，是一个倒立缩小的实像。两种方法都可以使用，并且结果相同。

【例题7】 如图1－19所示，求厚透镜的系统矩阵，并推导出薄透镜和厚透镜的成像公式。

图1－19 傍轴光线通过一厚度为t的厚透镜的情况

解：考虑一个厚度为t、媒质折射率为n的厚透镜，如图1－19所示，令R1和R2为两界面的曲率半径，假设光线射到第一界面上的点P，从第二界面上的点Q射出，令光线在点P和点Q的坐标分别是

此式中的λ1和λ2为光线在点P和点Q离轴的距离。从点P到点Q，光线经历了两次折射（第一次在第一界面，第二次在第二界面）和一次折射率为n的媒质里距离为t的平移（讨论傍轴光线时，点P和点Q之间的距离可以近似为t），所以有

其中

分别表示两个折射面的光焦度。据此，系统矩阵为

对于薄透镜，t→0，所以其系统矩阵为

因此，对于薄透镜有

将上面的a、b、c和d代入公式，可得

或者

或者

此式中有

f即为透镜的焦距。式（2）即为薄透镜公式，因此，薄透镜的系统矩阵是

对于厚透镜，根据式（1）有

将a、b、c和d代入公式，可以算得成像公式。