1.3.4　算法的时间复杂度

在进行算法分析时，语句总的执行次数T（n）是关于问题规模n的函数，进而分析T（n）随n的变化情况并确定T（n）的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T（n）＝O（f（n））。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f（n）的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f（n）是问题规模n的某个函数。

这种用大写O（）来体现算法时间复杂度的记法，我们称为大O记法。一般情况下，随着n的增大，T（n）增长最慢的算法为最优算法。

那么如何分析一个算法的时间复杂度，即如何推导大O阶呢？我们给出了下面的推导方法推导大O阶：

（1）用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

（2）在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

（3）如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

得到的结果就是大O阶。

仿佛是得到了游戏攻略一样，我们好像已经得到了一个推导算法时间复杂度的万能公式。可事实上，分析一个算法的时间复杂度没有这么简单，我们还需要多看几个例子。

1.常数阶

首先看顺序结构的时间复杂度。下面这个算法，也就是上文的第二种算法，为什么时间复杂度不是O（3），而是O（1）？

这个算法的运行次数函数是f（n）＝3。根据我们推导大O阶的方法，第一步就是把常数项3改为1。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O（1）。另外，我们试想一下，如果这个算法当中的语句sum＝（1＋n）＊n／2有10句，即

事实上无论n为多少，上面的两段代码就是3次和12次执行的差异，这种与问题的大小（n的多少）无关，执行时间恒定的算法，我们称为具有O（1）的时间复杂度，又叫常数阶。

注意：不管这个常数是多少，我们都记作O（1），而不能是O（3）、O（12）等其他任何数字。这是初学者常常犯的错误。

对于分支结构而言，无论是真，还是假，执行的次数都是恒定的，不会随着n的变大而发生变化，所以单纯的分支结构（不包含在循环结构中），其时间复杂度也是O（1）。

2.线性阶

循环结构就会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。

下面这段代码，它的循环的时间复杂度为O（n），因为循环体中的代码须要执行n次。

3.对数阶

那么下面的这段代码，时间复杂度又是多少呢？

由于每次count乘以2之后，就距离n更近了。也就是说，count是多个2相乘的结果，当count大于n时，则会退出循环。由此可得2x＝n，推导出x＝log2n。所以这个循环的时间复杂度为O（log2n）。

4.平方阶

下面的例子是一个循环嵌套，它的内循环刚才我们已经分析过，时间复杂度为O（n）。

而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为O（n）的语句再循环n次。所以这段代码的时间复杂度为O（n2）。

如果外循环的循环次数改为m，时间复杂度就变为O（m×n）。

所以我们可以总结得出，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。那么下面这个循环嵌套，它的时间复杂度是多少呢？

由于当i＝0时，内循环执行了n次，当i＝1时，执行了n－1次……当i＝n－1时，内循环执行了1次。所以总的执行次数为

用我们推导大O阶的方法，第一条，没有加法常数不予考虑；第二条，只保留最高阶项，因此保留n2／2；第三条，去除这个项相乘的常数，也就是去除1／2，最终这段代码的时间复杂度为O（n2）。

从这个例子我们也可以得到一个经验，其实理解大O推导不算难，难的是对数列的一些相关运算，这更多的是考查你的数学知识和能力。

算法中基本操作重复执行的次数还随问题的输入数据集的不同而不同。例如，下面是冒泡排序算法：

在这个算法中，“交换序列中相邻的两个整数”为基本操作。当a中初始序列为自小到大有序时，n为length，基本操作的执行次数为0；当初始序列为自大到小有序时，基本操作的执行次数为n（n－1）／2。对于这类算法的分析，一种解决方法是计算它的平均值，即考虑它对所有可能输入数据集的期望值，此时相应的时间复杂度为算法的平均时间复杂度。然而在很多情况下，算法的平均时间复杂度也难以确定。因此，我们可以讨论算法在最坏情况下的时间复杂度，即分析最坏情况以估计出算法执行时间的上界。例如，冒泡排序在最坏情况下的时间复杂度就为T（n）＝O（n2）。在本书中，如不做特殊说明，所讨论的各算法的时间复杂度均指最坏情况下的时间复杂度。

按时间复杂度由小到大递增排列如图1－9所示。

图1－9 时间复杂度

数据结构中常用的时间复杂度频率计数有：O（1）常数阶、O（n）线性阶、O（n2）平方阶、O（log2n）对数阶、O（nlog2n）阶等。其他一些过小或过大的复杂度都会使结果变得不现实，一般我们都不考虑。