在高等数学中，函数项级数是重要内容之一，判断其敛散性时，通常用Weierstrass判别法（M判别法）来判断一致收敛性，从而判断函数项级数的敛散性，为了使判断更加灵活，于是给出它的等价定理.

定理3.2.1（Weierstrass判别法的等价定理）设函数项级数，对于x∈D的一般项un（x），如果存在正数p＞1，使即有界，则函数项级数在D上一致收敛.

证 如果x∈D，∃p＞1使即有界，则一定存在正数M，使收敛，所以，由Cauchy收敛原理知，∀ε＞0，∃N∈N＋，使得∀l∈N＋，当n＞N时，恒有，因此，，所以，由Cauchy一致收敛原理知在D上一致收敛.

定理3.2.2 设函数项级数对于x∈D的每一项un（x）≥0，如果的同阶或低阶无穷小，则函数项级数在D上发散.

证 如果x∈D，u（x）是（n→∞）的同阶或低阶无穷小，则一定存在n正数M使un（x）≥，而发散，由Cauchy收敛原理知，∀ε＞0，一定∃l∈N＋，使得∀n∈N＋，都有，从而得，又因un（x）≥0，所以，，故函数项级数在D上无界，因此，函数项级数在D上发散.