由于使用积分准则判定正项级数的敛散性时，必须借助于反常积分的敛散性，有时判定起来不但不方便，甚至非常困难，故此，给出如下的等价定理.

定理3.1.1（积分准则等价定理）设正项级数

（1）如果存在常数p＞1，使即有界，则级数收敛；

（2）如果的同阶或低阶无穷小，则级数发散.

证 （1）因，则一定存在常数N＞0，使收敛，由比较法知，收敛.

（2）若的同阶或低阶无穷小，则一定存在常数N＞0，使发散，由比较法知发散.

用根值法判定正项级数的敛散性，要根据的值大于或小于1来判定，有时不如判断的符号容易，故此，下面给出了根值法的等价定理.

定理3.1.2（根值法等价定理）设正项级数

（1）如果收敛；

（2）如果发散；

（3）如果可能收敛，也可能发散.

证 （1）若，一定∃N∈N＋，对一切n＞N时，恒有即ln ＜0，所以＜1，取q满足＜q＜1，则an＜qn，而收敛，所以由比较法知收敛.

（2）若，一定∃N∈N＋，对一切n＞N时，恒有，即ln＞0，所以＞1，取q满足＞q＞1，则an＞qn，而发散，所以由比较法知，发散.

（3）若，则有，级数的敛散性说明判别法失效.