例1 计算，其中Σ为半球面的上侧.

解 这里P＝x，Q＝y，R＝z，Σ的方程为，所以，

故由定理2.9.1的（1）得

而曲面Σ在xOy坐标面上的投影区域Dxy在极坐标下可表示为

所以

故，即

例2 计算，其中Γ为圆周，若从z轴正向看去，圆周是取逆时针方向.

解 这里P＝3y，Q＝－xz，R＝yz2，取Σ为x2＋y2＝2z被曲线Γ割得下部分（取上侧），即部分（取上侧），而zx＝x，zy＝y，故由定理2.9.2知

而曲面Σ在xOy坐标面上的投影区域Dxy为x2＋y2≤4，故在极坐标下可表示为，因此

即