在积分学中，黎曼（Riemann）积分要求至少满足两个条件：一是积分区间［a，b］是有限的；二是被积函数f（x）在［a，b］上是有界函数；但在许多理论和实际中往往又不满足这些条件，因此，就需要研究无穷区间上或者无界函数的积分问题，这就是反常积分.所以，对反常积分敛散性进行探讨，非常必要.为了使反常积分敛散性判断更加灵活方便，因此，给出如下两个极限审敛法的等价定理.

定理2.8.1 （参考文献［3］的极限审敛法1的等价定理）设f（x）在［a，＋∞）上连续，且f（x）≥0.

（1）如果存在常数p＞1，使即有界，则收敛；

（2）如果的同阶或低阶无穷小，则发散.

证 （1）因即有界，故一定存在常数N＞0，使收敛，由比较准则知收敛.

（2）如果f（x）是的同阶或低阶无穷小，则一定存在常数N＞0，使发散，故由比较准则知也发散.

定理2.8.2（参考文献［3］的极限审敛法2的等价定理）设f（x）在［a，c）∪（c，b］上连续，且f（x）≥0，x＝c是奇点.

（1）如果存在常数p＜1，使即有界，则收敛；

（2）如果的同阶或高阶无穷大，则发散.

证 （1）因即有界，则一定存在常数N＞0，使（或（p＜1））收敛，故由比较准则知收敛.

（2）若f（x）是的同阶或高阶无穷大，则一定存在常数N＞0，使发散，故由比较准则知发散.