例1 计算.

解 因，故这里f（x）＝arctan x，而，所以，由定理2.7.1的（1）知当k＝1时收敛于

由定理2.7.2的（1）知当k＞1或k＜1时，无穷积分收敛于

例2 讨论无穷积分的敛散性，如果收敛并求积分值.

解 因无穷积分，故这里f（x）＝αx，a＝1，而，所以，由定理2.7.1的（2）知当k＝1时，无穷积分发散，从而知无穷积分发散；

由定理2.7.2的（2）知，当k＞1时，无穷积分，所以，无穷积收敛于

由定理2.7.2的（3）知，当k＜1时，无穷积分发散，从而知发散.

综上所述，当k＞1时，无穷积分；当k≤1时，无穷积分发散.

例3 当k为何值时，无穷积分，（1）收敛；（2）发散；（3）若收敛求积分值.

解 因，所以，这里f（x）＝ln x，a＝2，而，所以，由定理2.7.1的（2）知，当k＝1时，无穷积发散；

由定理2.7.2的（2）知，当k＞1时，无穷积分收敛于

由定理2.7.2的（3）知，当k＜1时，无穷积分发散.

综上所述，（1）当k＞1时，无穷积分收敛；（2）当k≤1时，无穷积分发散；（3）当k＞1时，无穷积分