2.7.1　定理及证明

对于形如的无穷积分，由于k的取值不同，所以无穷积分的敛散性也就不同，计算结果自然也就不同，为了解决这一问题，使其计算简单化，故此，给出如下定理.

定理2.7.1 设f（x）在［a，＋∞）上具有连续导数f′（x），且f（x）＞0，当k＝1时，则

（1）如果收敛于ln A－ln f（a）；

（2）如果发散.

证 （1）当k＝1时，若，则

即无穷积分收敛于ln A－ln f（a）.

（2）当k＝1时，若，则

即无穷积分发散.

定理2.7.2 设f（x）在［a，＋∞）上具有连续导数f′（x），且f（x）＞0，当k≠1时，则

（1）如果k＞1（或k＜1）且，则收敛于；

（2）如果k＞1且收敛于

（3）如果发散.

证 （1）当k≠1时，如果k＞1（或k＜1）且，则

即无穷积分收敛于.

（2）k≠1时，如果k＞1且，则

即无穷积分收敛于

（3）当k≠1时，如果k＜1且则

无穷积分发散.