定理2.6.1 设f（x）在［a，＋∞）上连续，且在该区间上f（x）＞0（或＜0），收敛的必要条件是

证 不妨设在［a，＋∞）上f（x）＞0，对任意x∈（a，＋∞），f（x）在［a，x］上连续，如果F（x）是f（x）在［a，＋∞）上的原函数，则F（x）在［a，x］上也连续，且在（a，x）内可导，所以，由Lagrange中值定理得F（x）－F（a）＝F′（ξ）（x－a）（ξ在a与x之间）.即F（x）－F（a）＝f（ξ）（x－a），所以，因f（x）＞0，故F（x）是严格单调增函数，则F（x）－F（a）＞0，当x→＋∞时，ξ→＋∞，若存在，则是单调减函数，从而知f（x）也是单调减函数.且0＜f（x）≤f（a），即f（x）在［a，＋∞）上有界，所以）存在.

故

即.可类证f（x）＜0的情形.

推论2.6.1 设f（x）在（－∞，＋∞）上连续，且在（－∞，a）上f（x）＞0（或＜0），在［a，＋∞）上f（x）＞0（或＜0），则收敛的必要条件是

如果在定义域内的有限个点或有限区间上f（x）＝0，定理及推论仍成立，因此，定理及推论不仅可判定不具有收敛必要条件的无穷积分的发散，而且还可以应用于有关的证明（如可证明比较准则（极限形式））.这里不再赘述.