2.2.1　基本定理及证明

通过研究两个无穷小量之比的函数单调性，得到了一些结论，可应用结论简便判别两个无穷小量之比的函数单调性和证明不等式，于是就有下面的定理：

定理2.2.1 设，f与g在x0的某空心右邻域（x0）可导，且g′（x）≠0，则有

（1）若单调增，则单调增，并且

（2）

（3）若）单调减，则单调减，并且

证 设，则有

由于g′（x）≠0，故（根据Darboux定理）必有g′（x）＞0或g′（x）＜0，因此相应地即有g（x）单调增或者单调减.又由于故g（x）与g′（x）具有相同的正负性（同大于0或小于0）.例如当g′（x）＞0时，由于g（x）（于（x0）内）单调增，故因此φ′（x）（当x＞x0时）的正负性实际上由的正负性决定.

但由于，补充f与g在x0的值，令f（x0）＝g（x0）＝0，在（x0）内任取一点x，在以x0，x为端点的区间上应用Cauchy中值定理，有

从而.由此得：如果单调增，上式便大于0，故φ′（x）＞0，从而单调增，，其余情形证明与之类似.

定理2.2.2

f与g在x0的某空心左邻域（x0）可导，且g′（x）≠0，则有

（1）若单调增，则也于单调增，并且

证 设，则有

由于g′（x）≠0，故（根据Darboux定理）必有g′（x）＞0或g′（x）＜0，因此相应地即有g（x）单调增或者单调减.又由于，故g（x）与g′（x）具有相反的正负性.例如，当g′（x）＞0时，由于g（x）（于（x0）内）单调增，故），因此φ′（x）（当x＜x0时）的正负性实际上与的正负性相反.

但由于补充f与g在x0的值，令f（x0）＝g（x0）＝0，在（x0）内任取一点x，在以x，x0为端点的区间上应用Cauchy中值定理，有

从而

由此得：如果单调增，上式便小于0，故φ′（x）＞0，从而单调增，其余情形证明与之类似.