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高等数学研究点滴

1.1

内容简介
1.2

前　言
1.3

目录
1.4

第一章　极限求法的研究
1.4.1

1.1　三个极限公式及应用
1.4.1.1

1.1.1　基本定理及其证明
1.4.1.2

1.1.2　应用举例
1.4.2

1.2　无穷小量部分代换求极限
1.4.2.1

1.2.1　基本定理（证明）及推论
1.4.2.2

1.2.2　应用举例
1.4.3

1.3　用带Peano余项的Taylor公式代换求极限应取的项数
1.4.3.1

1.3.1　基本定理（证明）及推论
1.4.3.2

1.3.2　应用举例
1.4.4

1.4　形如的限求法
1.4.4.1

1.4.1　Cauchy判别法和D’Alembert判别法及有关的结论
1.4.4.2

1.4.2　应用举例
1.4.5

1.5　用球面坐标求多元函数极限
1.4.5.1

1.5.1　定理（证明）及推论
1.4.5.2

1.5.2　应用举例
1.5

第二章　微积分的研究
1.5.1

2.1　Taylor公式中的Lagrange型余项R（x）的研究
1.5.1.1

2.1.1　问题的提出
1.5.1.2

2.1.2　基本定理（证明）及推论
1.5.2

2.2　无穷小量之比单调性判别法及应用
1.5.2.1

2.2.1　基本定理及证明
1.5.2.2

2.2.2　应用举例
1.5.3

2.3　微分中值定理与Newton－Leibniz公式互相证明
1.5.3.1

2.3.1　用微分中值定理推出牛顿－莱布尼茨（Newton－Leibniz）公式
1.5.3.2

2.3.2　用Newton－Leibniz公式推出微分中值定理
1.5.4

2.4　微积分第一基本定理和积分中值定理的证法
1.5.4.1

2.4.1　用Newton－Leibniz公式证明微积分第一基本定理
1.5.4.2

2.4.2　用Lagrange中值定理证明积分中值定理
1.5.5

2.5　微分中值定理与Newton－Leibniz公式的证明体系
1.5.5.1

2.5.1　三个证明体系概述
1.5.5.2

2.5.2　两个证明体系的介绍
1.5.6

2.6　无穷积分收敛条件的探讨
1.5.6.1

2.6.1　问题的猜想
1.5.6.2

2.6.2　基本定理（证明）及推论
1.5.6.3

2.6.3　应用举例
1.5.7

2.7　形如的无穷积分敛散性
1.5.7.1

2.7.1　定理及证明
1.5.7.2

2.7.2　应用举例
1.5.8

2.8　反常积分敛散性审敛法的等价定理
1.5.8.1

2.8.1　审敛法的等价定理及其证明
1.5.8.2

2.8.2　应用举例
1.5.9

2.9　Stokes公式的二重积分形式及应用
1.5.9.1

2.9.1　基本定理及证明
1.5.9.2

2.9.2　应用举例
1.5.10

2.10　用亚纯函数的留数计算曲线（实）积分
1.5.10.1

2.10.1　基本定理（证明）及推论
1.5.10.2

2.10.2　应用举例
1.6

第三章　级数审敛法的等价定理研究
1.6.1

3.1　正项级数审敛法的等价定理及其证明
1.6.1.1

3.1.1　等价定理及证明
1.6.1.2

3.1.2　应用举例
1.6.2

3.2　魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法的等价定理
1.6.2.1

3.2.1　等价定理及其证明
1.6.2.2

3.2.2　应用举例
1.7

第四章　空间解析几何的研究
1.7.1

4.1　空间几何体在平面上的投影
1.7.1.1

4.1.1　基本定理（证明）及推论
1.7.1.2

4.1.2　应用举例
1.7.2

4.2　空间曲线在平面上的投影曲线参数方程
1.7.2.1

4.2.1　基本定理及证明
1.7.2.2

4.2.2　应用举例
1.7.3

4.3　旋转曲面方程的求法
1.7.3.1

4.3.1　基本定理（证明）及推论
1.7.3.2

4.3.2　应用举例
1.7.4

4.4　旋转曲面的面积及围成立体的体积
1.7.4.1

4.4.1　基本定理（证明）及推论
1.7.4.2

4.4.2　应用举例
1.8

参考文献

1.5.1.2 2.1.2　基本定理（证明）及推论

2.1.2　基本定理（证明）及推论

上面的问题可归结为：是否存在ξ0（或θ0）使或，于是给出如下定理.

定理2.1.1 设f（x）在含x0的某区间内有直到（n＋2）阶导数，若，则一定存在ξ0和ξ使f（x）的Taylor公式的余项

成立.

证明因

将f（n＋1）（x）在以x，x0为端点的区间上应用Lagrange中值定理便得

而，所以，故此，有

将式（2－2）代入式（2－1）得即

于是当x0＝0时可得到如下推论：

推论2.1.1 设f（x）在含有x＝0的某区间内有直到（n＋2）阶导数，若，则一定存在0＜θ0＜1和0＜θ＜1使f（x）的Maclaurin公式的余项

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成立.所以，sin x、cos x亦可分别写成

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和

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其中 pagenumber_ebook=31,pagenumber_book=24